- •1.Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування. Допустимий та оптимальний план задачі лінійного програмування.
- •2.Форми запису лінійної задачі оптимізації: в скороченому вигляді, в матричній і векторній формах.
- •3.Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування.
- •4.Симплексний метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.
- •5.Алгоритм графічного методу розв’язування задач лінійного програмування.
- •6.Алгоритм розв’язування задачі лінійного програмування симплексним методом.
- •7.Теорема (ознака оптимальності опорного плану задачі лінійного програмування).
- •8.Правила побудови двоїстих задач.
- •9.Теореми двоїстості.
- •10.Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач.
- •11.Економічна інтерпретація двоїстої задачі (на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів).
- •12.Визначення за допомогою двоїстих оцінок статус кожного ресурсу прямої задачі та проведення аналізу рентабельності продукції (на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів).
- •13.Постановка транспортної задачі.
- •Транспортна задача — це специфічна задача лінійного програмування, застосовувана для визначення найекономічнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів.
- •14.Алгоритм розв’язування транспортної задачі методом потенціалів.
- •15.Транспортна задача з додатковими умовами: 1) заборона перевезень від певного постачальника до певного споживача; 2) перевезення за окремими маршрутами строго визначеного обсягу продукції.
- •16.Економічна та математична постановка задачі про розподіл обладнання.
- •17.Економічна та математична постановка задачі про призначення.
- •18.Двохетапна транспортна задача.
- •19.Економічна та математична постановка цілочислової задачі лінійного програмування.
- •20.Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування.
- •1) Точні методи:
- •21.Алгоритм розв’язування цілочислових задач лінійного програмування методом Гоморі.
- •22.Алгоритм методу гілок та меж.
- •23.Задача про рюкзак.
- •24.Задача оптимального розкрою матеріалів.
- •25.Задача планування виробничої лінії.
- •26.Економічна та математична постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •27.Геометрична інтерпретація задачі дробово-лінійного програмування.
- •28.Розв’язування дробово-лінійної задачі зведенням до задачі лінійного програмування.
- •29.Постановка нелінійної задачі оптимізації. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування.
- •30.Основні труднощі розв’язування нелінійних задач.
- •31.Метод множників Лагранжа розв’язування нелінійних задач оптимізації.
- •32.Економічна сутність задач динамічного програмування.
- •33.Сутність динамічного програмування. Принцип оптимальності.
- •34.Задача про розподіл капіталовкладень між підприємствами.
- •35.Принцип оптимальності р.Белмана.
- •36.Алгоритм розв’язування задач динамічного програмування.
- •37.Основні поняття теорії ігор.
- •38.Класифікація ігор.
- •39.Матричні ігри двох осіб.
- •40.Гра зі змішаними стратегіями.
- •Нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею
- •41.Геометрична інтерпретація гри 22.
- •42.Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування.
- •Типові задачі.
- •1. Розв’язування задачі лінійної оптимізації графічним методом.
- •Задача 2.1.
- •2. Знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задачі на основі теорем двоїстості.
- •Задача 3.3.
- •3. Побудова математичних моделей прямої та двоїстої задач та економічний аналіз їх оптимальних планів.
- •4. Розв’язування задачі дробово-лінійного програмування графічним методом.
- •5. Розв’язування задачі нелінійного програмування графічним методом.
- •6. Розв’язування задачі нелінійного програмування методом множників Лагранжа.
2. Знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задачі на основі теорем двоїстості.
(2., стор.78-82).
До наведеної далі задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язавши двоїс- ту задачу графічно, визначити оптимальний план прямої за- дачі.
Z = x1 + 2x2 + 2x3 min;
Розв’язування. За відповідними правилами побудуємо двоїсту задачу:
F = y1 + 4y mах;
Зауважимо, що задачі несиметричні, і тому змінна у1, що відповідає рівнянню в системі обмежень прямої задачі, може мати будь-який знак, а змінна у2 — лише невід’ємна.
Двоїста задача має дві змінні, а отже, її можна розв’язати графічно (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Найбільшого значення цільова функція двоїстої задачі F досягає в точці В многокутника ABCD. Її координати:
тобто Y * = (–2/3; 4/3); mах F = 1 (–2/3) + 4 4/3 = 14/3.
Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.
Підставимо Y * у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:
Оскільки перше обмеження для оптимального плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, доходимо висновку, що перша змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х1 = 0 (перша частина другої теореми двоїстості).
Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Оскільки друга компонента плану у2 = 4/3 додатна, доходимо висновку, що друге обмеження прямої задачі для X * виконуватиметься як строге рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).
Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х1 = 0, та визначити решту змінних:
тобто X * = (0; 5/3; 2/3), min Z = 1 0 + 2 5/3 + 2 2/3 = 14/3.
Умова min Z = max F = 14/3 виконується, і тому X * = (0; 5/3; 2/3); Y * = (–2/3; 4/3) є оптимальними планами відповідно прямої та двоїстої задач.
Задача 3.3.
Визначити, чи оптимальні
такі плани сформульованої задачі
лінійного програмування:
Z = 12x1 – 4x2 + 2x3 min;
а) х = (8/7; 3/7; 0); б) х = (0; 1/5; 8/5); в) х = (1/3; 0; 1/3).
Розв’язування. Принцип розв’язування задач такого типу ґрунтується на використанні другої теореми двоїстості. Необхідно побудувати двоїсту задачу та припускаючи, що відповідний план Х є оптимальним, визначити оптимальний розв’язок двоїстої задачі. Якщо при цьому екстремальні значення цільових функцій збігатимуться, то припущення правильне. Протилежного висновку можна дійти в таких випадках.
1. Якщо запропонований план Х недопустимий, тобто не задовольняє систему обмежень прямої задачі.
2. Якщо визначений план двоїстої задачі недопустимий, тобто не задовольняє всі обмеження двоїстої задачі.
3. Якщо визначений план двоїстої задачі допустимий, але для нього екстремальне значення цільової функції F не дорівнює значенню функції Z, тобто не виконується умова першої теореми двоїстості.
Запишемо двоїсту задачу до прямої задачі лінійного програмування:
F = y1 + 2y2 max;
Перевіримо запропоновані плани на оптимальність.
1. X = (8/7; 3/7; 0). Підставимо його в систему обмежень прямої задачі:
Обидва обмеження виконуються і тому Х = (8/7; 3/7; 0) є допустимим планом прямої задачі. Припустимо тепер, що зазначений план є оптимальним планом прямої задачі. Тоді для нього Z = 12 8/7 + 4 3/7 + 2 0 = 12.
Скористаємося другою теоремою двоїстості та визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки x1 = 8/7 > 0; x2 = 3/7 > 0, то згідно з другою частиною другої теореми двоїстості можна записати перше та друге обмеження як рівняння і визначити у1 і у2:
Підставимо ці значення в третє обмеження системи двоїстої задачі:
;
.
Для визначених значень у1 = 4; у2 = 4 це обмеження не виконується, і тому відповідний план Y = (4; 4) є недопустимим планом двоїстої задачі. Унаслідок цього наше припущення, що Х = (8/7; 3/7; 0) є оптимальним планом вихідної задачі, виявилося помилковим.
2. Х = (0; 1/5; 8/5). Підставимо цей план в систему обмежень прямої задачі:
План допустимий і для нього Z = 12 0 – 4 1/5 + 2 8/5 = 12/5.
Визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки компоненти x3 та x2 додатні, то друге та третє обмеження двоїстої задачі можна записати як рівняння:
Перевіримо, що виконується перше обмеження двоїстої задачі для визначених значень у1 та у2: 2 8/5 + 2/5 = 18/5 < 12. Отже, перше обмеження виконується, і тому Y = (8/5; 2/5) є допустимим планом двоїстої задачі. Для нього F = 8/5 + 2 2/5 = 12/5 = Z. З огляду на викладене можна зробити висновок, що Y * = (8/5; 2/5) є оптимальним планом двоїстої задачі, а X * = (0; 1/5; 8/5) — оптимальним планом прямої задачі.
Наше припущення відносно запропонованого плану виявилося правильним.
3. Х = (1/3; 0; 1/3). Для цього плану обмеження прямої задачі виконуються так:
Оскільки Х = (1/3; 0; 1/3) є недопустимим планом, то він не може бути також оптимальним планом прямої задачі.
Отже, перевірка запропонованих планів на оптимальність дала такі результати: а) ні; б) так, Y * = (0; 1/5; 8/5), min Z = 12/5; в) ні.