- •1.Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування. Допустимий та оптимальний план задачі лінійного програмування.
- •2.Форми запису лінійної задачі оптимізації: в скороченому вигляді, в матричній і векторній формах.
- •3.Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування.
- •4.Симплексний метод із штучним базисом. Ознака оптимальності плану із штучним базисом.
- •5.Алгоритм графічного методу розв’язування задач лінійного програмування.
- •6.Алгоритм розв’язування задачі лінійного програмування симплексним методом.
- •7.Теорема (ознака оптимальності опорного плану задачі лінійного програмування).
- •8.Правила побудови двоїстих задач.
- •9.Теореми двоїстості.
- •10.Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач.
- •11.Економічна інтерпретація двоїстої задачі (на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів).
- •12.Визначення за допомогою двоїстих оцінок статус кожного ресурсу прямої задачі та проведення аналізу рентабельності продукції (на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів).
- •13.Постановка транспортної задачі.
- •Транспортна задача — це специфічна задача лінійного програмування, застосовувана для визначення найекономічнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів.
- •14.Алгоритм розв’язування транспортної задачі методом потенціалів.
- •15.Транспортна задача з додатковими умовами: 1) заборона перевезень від певного постачальника до певного споживача; 2) перевезення за окремими маршрутами строго визначеного обсягу продукції.
- •16.Економічна та математична постановка задачі про розподіл обладнання.
- •17.Економічна та математична постановка задачі про призначення.
- •18.Двохетапна транспортна задача.
- •19.Економічна та математична постановка цілочислової задачі лінійного програмування.
- •20.Загальна характеристика методів розв’язування цілочислових задач лінійного програмування.
- •1) Точні методи:
- •21.Алгоритм розв’язування цілочислових задач лінійного програмування методом Гоморі.
- •22.Алгоритм методу гілок та меж.
- •23.Задача про рюкзак.
- •24.Задача оптимального розкрою матеріалів.
- •25.Задача планування виробничої лінії.
- •26.Економічна та математична постановка задачі дробово-лінійного програмування.
- •27.Геометрична інтерпретація задачі дробово-лінійного програмування.
- •28.Розв’язування дробово-лінійної задачі зведенням до задачі лінійного програмування.
- •29.Постановка нелінійної задачі оптимізації. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування.
- •30.Основні труднощі розв’язування нелінійних задач.
- •31.Метод множників Лагранжа розв’язування нелінійних задач оптимізації.
- •32.Економічна сутність задач динамічного програмування.
- •33.Сутність динамічного програмування. Принцип оптимальності.
- •34.Задача про розподіл капіталовкладень між підприємствами.
- •35.Принцип оптимальності р.Белмана.
- •36.Алгоритм розв’язування задач динамічного програмування.
- •37.Основні поняття теорії ігор.
- •38.Класифікація ігор.
- •39.Матричні ігри двох осіб.
- •40.Гра зі змішаними стратегіями.
- •Нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею
- •41.Геометрична інтерпретація гри 22.
- •42.Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування.
- •Типові задачі.
- •1. Розв’язування задачі лінійної оптимізації графічним методом.
- •Задача 2.1.
- •2. Знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задачі на основі теорем двоїстості.
- •Задача 3.3.
- •3. Побудова математичних моделей прямої та двоїстої задач та економічний аналіз їх оптимальних планів.
- •4. Розв’язування задачі дробово-лінійного програмування графічним методом.
- •5. Розв’язування задачі нелінійного програмування графічним методом.
- •6. Розв’язування задачі нелінійного програмування методом множників Лагранжа.
34.Задача про розподіл капіталовкладень між підприємствами.
(1., стр.364-365).
Планується на наступний рік діяльність виробничої системи, яка складається з n підприємств. Відома початкова сума коштів — , що має бути розподілена між всіма підприємствами. Сума вкладень х приносить k-му підприємству прибуток . Значення функції , задані таблицею.
Необхідно визначити — кошти, які потрібно виділити k-му підприємству так, щоб отримати максимальний сумарний прибуток від вкладення коштів в усі підприємства .
Позначимо кількість коштів, що залишилися після k-го кроку (тобто кошти, які необхідно розподілити між рештою (n – k) підприємств через :
.
Задача розв’язується поетапно. В даному разі етапами є вкладення коштів в кожне підприємство.
І етап. Кошти вкладаються лише в одне (наприклад, перше) підприємство. Найбільший прибуток (ефективність першого етапу), що може бути отриманий, позначимо через . Маємо:
.
ІІ етап. Порівняємо ефективність, яку отримаємо, вкладаючи кошти лише у перше підприємство та вкладаючи кошти одночасно і в перше, і в друге підприємства. Якщо позначити ефективність другого етапу через , то отримаємо:
.
Для k-го етапу маємо рекурентне співвідношення:
.
Послідовно розв’язуючи отримані рівняння, визначаємо оптимальні рішення на кожному етапі.
35.Принцип оптимальності р.Белмана.
(1., стр.374).
Для прийняття оптимального рішення на k-му кроці багатокрокового процесу потрібна оптимальність рішень на всіх його попередніх кроках, а сукупність усіх рішень дає оптимальний розв’язок задачі лише в тому разі, коли на кожному кроці приймається оптимальне рішення, що залежить від параметра етапу , визначеного на попередньому кроці.
Цей факт є основою методу динамічного програмування і є сутністю так званого принципу оптимальності Р. Белмана, який формулюється так:
Оптимальний розв’язок багатокрокової задачі має ту властивість, що яким би не був стан системи в результаті деякої кількості кроків, необхідно вибирати управління на найближчому кроці так, щоб воно разом з оптимальним управлінням на всіх наступних кроках приводило до максимального виграшу на всіх останніх кроках, включаючи даний.
Доведемо справедливість такого твердження, міркуючи від супротивного. Нехай маємо задачу на максимізацію функції і вектор є її оптимальним планом (стратегією, поведінкою) n-крокового процесу (n-вимірної задачі) з початковим параметром стану b.
Принцип оптимальності еквівалентний твердженню, що вектор повинен бути оптимальним планом -крокового процесу -вимірної задачі з початковим параметром стану , що дорівнює . Припустимо протилежне, тобто що вектор не є оптимальним планом відповідного процесу, а ним є якийсь інший план . Тоді дістанемо:
,
але
,
що суперечливо. Отже, принцип оптимальності доведено.
36.Алгоритм розв’язування задач динамічного програмування.
(1., стр.376-377).
Опишемо алгоритм розв’язування задач динамічного програмування, який складається з послідовності таких операцій:
Визначають специфічні показники стану досліджуваної керованої системи і множину параметрів, що описують цей стан. Стан системи описується у такий спосіб, щоб можна було забезпечити зв’язок між послідовними етапами розв’язання задачі і мати змогу одержати допустиме рішення задачі в цілому як результат оптимізації на кожному кроці окремо, а крім того, приймати оптимальні рішення на наступних етапах без урахування впливу майбутніх рішень на ті, що були прийняті раніше.
Поділяють процес на етапи (кроки), які, як правило, відповідають певним періодам планування динамічних процесів, або окремим об’єктам (підприємствам, видам продукції, устаткуванню тощо) у разі підготовки рішень стосовно керування ними.
Формулюють перелік управлінь для кожного кроку і відповідні обмеження щодо них.
Визначають ефект, який забезпечує управління на j–му кроці, якщо перед тим система була у стані S, у вигляді функції ефективності:
.
Визначають, як змінюється стан S системи під впливом управління на j-му кроці, тобто як здійснюється перехід до нового стану:
.
Будують рекурентну залежність задачі динамічного програмування, що визначає умовний оптимальний ефект починаючи з j–го кроку і до останнього, через вже відому функцію
.
Цьому ефекту відповідає умовне оптимальне управління на j-му кроці Зауважимо, що у функції необхідно замість врахувати змінений стан системи, тобто
Використовують умовну оптимізацію останнього n-го кроку, визначаючи множину станів S, з яких можна за один крок дійти до кінцевого стану. Умовно-оптимальний ефект на n-му кроці обчислюють за формулою:
Потім знаходять умовно-оптимальне управління в результаті реалізації якого цей максимум буде досягнуто.
Проводять умовну оптимізацію -го, -го та інших кроків за рекурентними залежностями (див. п. 6) і визначають для кожного кроку умовно-оптимальне управління:
Проводять безумовну оптимізацію управління у «зворотному» напрямку від початкового стану до кінцевого. Для цього з урахуванням визначеного оптимального управління на першому кроці змінюють стан системи згідно з пунктом 5. Потім для цього нового стану знаходять оптимальне управління на другому кроці і аналогічно ці дії повторюють до останнього етапу (кроку).
В результаті знаходять оптимальне покрокове управління , що забезпечує максимальну ефективність Z*.