22)Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа в теории групп гласит:

Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс).

Следствия

Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H в G одинаково и называется индексом подгруппы H в G (обозначается [G:H]).

Порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G.

Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G делит порядок G. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.

Группа порядка p, где p — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p, и значит, каждый из них порождает группу.)

23)Теорема Коши

Пусть даны две функции и такие, что:

1. и определены и непрерывны на отрезке ;

2. производные и конечны на интервале ;

3. производные и не обращаются в ноль одновременно на интервале ;

4.

тогда , где

(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале (a,b).).

Доказательство:

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

24)Теорема Лопиталя

Условия:

1. 

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует

25)Достаточ условие выпуклости графика фун-ии вверх вниз

Если функция имеет на интервале (a,b )вторую производную, и ( ) для , то её график имеет на этом интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

26)Необходимое условие сущ точки перегиба графика диф фун-ии

Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x₀, f(x₀)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x0) = 0.

27)1-е достаточное условие сущ точки перегиба графика диф фун-ии

Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки х₀. Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от х₀, вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

28)2-е достаточное условие сущ точки перегиба графика диф фун-ии

Если , а , тогда х₀ является абсциссой точки перегиба графика функции y = f(x).

29)Асимптоты графика фун-ии

Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат. Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода. В этом случае f( x₀ ± 0) = ± ∞, или f ( x₀ ± 0) = + ∞ , или f (x₀ ± 0) = − ∞. Горизонтальные асимптоты. Если

то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны). Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если функцию можно представить в виде , где .