32 Ряд Лорана. Теорема про розвинення ф-ї в кільці.

Ряд вигляду називається рядом Лорана в околі точки або по степенях , при цьому ряд Лорана є сумою рядів:

- правильна частина ряду Лорана;

- головна частина ряду Лорана.

Ряд Лорана вважається збіжним в точці , якщо одночасно існують границі:

Форма області збіжності ряду Лорана визначається тим, що його правильна частина є збіжною у крузі , а головна частина у зовнішності круга . Таким чином обл. збіжності ряду Лорана є кільце з центром в точці внутрішній радіус якого а зовнішній . Якщо то обл. збіжності такого ряду не досліджується.

Частинними випадками є:

• обл. збіжності являє собою круг з виколотим центром;

• обл. збіжності являє собою зовнішність круга.

Теорема: Нехай ф-я є однозначною та аналітичною в кільці тоді ця ф-я може бути представлена у вигляді суми ряду Лорана: , де

- коло концентричне з даним кільцем.

33 Класифікація ізольованих особливих точок ф-ї.

• Якщо ф-я аналітична в крузі з виколотим центром і неаналітична в точці , то така точка називається ізольованою особливою точкою цієї ф-ї.

• Ізольована особлива точка ф-ї називається усувною особливою точкою, якщо ряд Лорана в області для такої ф-ї не містить від’ємних степенів.

• Ізольована особлива точка ф-ї називається полюсом n-го порядку, якщо ряд Лорана для цієї функції в області містить скінчену кількість від’ємних степенів найвищим з яких є .

• Ізольована особлива точка ф-ї називається істотно особливою, якщо ряд Лорана для цієї ф-ї в області містить нескінченну кількість від’ємних степенів.

34 Означення лишку аналітичної функції в ізольованій особливій точці. Обчислення лишків в особливих точках.

Означення: Лишком аналітичної функції називається коефіцієнт її Лоранівського розкладу.

Лишки обчислюються в залежності від класифікації особливих точок:

• Якщо точка аналітичності або усувна особлива точка, то лишок нульовий.

• Якщо точка є простим полюсом, то лишок обчислюється наступним чином: . У випадку якщо ф-я має наступний вигляд , то лишок можна обчислити за формулою , де , , .

• Якщо точка є полюсом порядку , то лишок обчислюється наступним чином: .

• Якщо є істотно особлива точка, то лишок має наступний вигляд .

35 Розвинення функції в ряд Лорана в околі нескінченно-віддаленої точки.

Означення: Нескінченно віддалену точку комплексної площини називають відповідно усувною, полюсом n-го порядку або істотною особливою точкою, якщо такою є точка для функції .

Таким чином характерні особливості нескінченно-віддаленої точки визначається поведінкою правильної частини р. Лорана.

37 Обчислення інтегралів за допомогою лишків.

• Інтеграл дорівнює сумі лишків ф-ї для ізольованих особливих точок розташованих у верхній півплощині комплексної площини помноженій на за умови, що немає ізольованих особливих на дійсній осі.

• Для знаходження інтегралів типу зауважимо, що

, де - правильний дріб, знаменник якого не має дійсних коренів.

• Для знаходження інтегралів

зауважимо, що поклавши , отримаємо