5. Понятие тренда. Понятие кривой роста. Примеры кривых роста, используемых в прогнозировании социально-экономических процессов. (с. 33)

Понятие об уравнении тенденции динамики было введено в статистику английским ученым Гукером в 1902 г. Он предложил называть такое уравнение трендом. В качестве тренда может выступать любая функциональная зависимость (линейная или нелинейная), параметры которой необходимо оценить. Можно сказать, что тренд – это устойчивое изменение среднего уровня показателя в течение длительного времени;

Функции с единственным аргументом «время» называют кривыми роста. В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные, и S-образные кривые роста, а также тригонометрические функции (последние – для моделирования периодических колебаний).

Примеры:

полином 1ой степени (прямая)

полином 2ой степени

полином 3-ей степени

экспонента

кривая Гомперца (убывающая – симметрично относительно Оу)

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида (убывающая – симметрично относительно Оу)

синусоида и косинусоида

6. Полиномиальные кривые. Их свойства. Использование метода характеристик прироста для выбора степени полинома. (с 16,37)

Полиномом (многочленом) степени m называется функция вида:

Для полиномов справедлива теорема Лагранжа: для заданных на плоскости точек в количестве n с различными абсциссами существует единственный полином степени не выше n-1, который проходит через все эти точки. Этот полином называется интерполяционным полиномом Лагранжа и имеет следующий вид:

Однако интерполяция с его помощью имеет следующие недостатки: полином совпадает с интерполируемой функцией в заданных точках, но между этими точками может сильно отличаться от реально процесса; полином Лагранжа совершенно не пригоден для экстраполяции (прогнозирования). Это связано с тем, что полиномы высокого порядка часто изменяют свое поведение за пределами наблюдаемого временного ряда, то есть именно там, где их и надо использовать при прогнозировании.

В прогнозировании наиболее часто используются полиномы невысоких степеней: первого порядка (прямая линия), (квадратичная парабола) и лишь иногда третьего порядка (кубическая парабола).

При дифференцировании полинома любого порядка получаем полином, порядок которого на 1 меньше, чем у исходного полинома. Таким образом, первая производная полинома третьего порядка является полиномом второго порядка, то есть квадратичной параболой, а вторая производная – полиномом первого порядка, то есть линейной функцией. Это свойство полиномов обычно используется для экономического обоснования выбора степени полинома. На данном свойстве как раз и основан метод характеристик прироста. Для его использования необходимо рассчитать первые, вторые и т.д. разности.

Для полинома 1го порядка первые разности, рассчитанные по формуле , будут колебаться вокруг постоянного уровня . Вторые разности (ускорение) в этом случае будут колебаться вокруг нулевого уровня. У квадратичной параболы первые разности линейно зависят от времени. Вторые разности (ускорение роста) колеблются около постоянного уровня , а третьи – вокруг нулевого уровня. У полинома третьего порядка первые разности имеют вид квадратичной зависимости, вторые – линейной, третьи – колеблются вокруг постоянного уровня.

7. Экспоненциальные кривые. Использование метода характеристик прироста для обоснования применения простой экспоненты и модифицированной экспоненты.В прогнозировании СЭП часто используют функции, содержащие экспоненциальную зависимость. Функции такого вида хорошо отражают реальные процессы изменения уровней временных рядов, происходящие в экономике. Рассмотрим наиболее популярные.

1.Простая экспонента представляется в виде функции f(t)=b*m^t

Где b>0 и m>0. b- значение f(t) при t=0. Если m>1, функция возрастает с ростом t, если m<1 – функция убывает (нижний предел функции равен 0). Ограничения на параметры связаны с тем, что обычно в прогнозировании СЭП значения t и f – неотрицательные числа.

Обозначив a=ln(m), a₀=ln(b), e^a=m e^a0=b, получают другие формы записи:

f(t)=b*e^at=e^a0+at

Производная простой экспоненты в точке t пропорциональная значению функции в этой точке

f `(t)=b*a*eat=a*f(t)

Из этого свойства следует, что простая экспонента используется в прогнозировании в тех случаях, когда последующее развитие (прирост) зависит от достигнутого уровня.

2. Модифицированная экспонента имеет вид f(t)=c+b*m^t

Константа c>0 – асимптота функции. Обычно значение 0<m<1, тогда значения функции неограниченно приближаются к величине c при увеличении t (сверху при значении b>0 и снизу при b<0). Если m>1, то значения функции приближаются к величине c при уменьшении t. При t=0 значения f(t)=c+b. Производные модифицированной экспоненты совпадают с производными простой экспоненты.

3. Для процессов, которые сначала растут медленно, потом ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к некоторому верхнему пределу (или наоборот: снижение от верхнего уровня к нижнему) используются так называемые S-образные кривые, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение f(t)=c*a^bt

Где a,b положительные параметры. Значение a<1. При b<1 функция возрастает, при b>1 – убывает. Параметр с – асимптота функции (верхний предел). Выделяют 4 участка: 1-прирост незначителен, 2-прирост увеличивается, 3-постепенно уменьшается, 4-прирост почти равен 0. Наивысшая точка – на границе между 2 и 3.