3.3.2 Метод линейных комбинаций

Вычислим градиент функции F(x):

На следующем этапе вычислим значение градиента в точке x₀:

;

Суть метода линейных комбинаций заключается в линеаризации функции F(x) и замене ее линейной функцией в соответствии с выражением:

Решаем задачу линейного программирования при следующих ограничениях:

Процедура решения задачи иллюстрируется последовательностью симплекс таблиц:

Таблица 3.1

.БП	Своб. члены	НП
		x1	x2
x3	2	-1	2
x4	550	49	10
w0	0	55	22

Решение задачи:

Произведем корректировку найденного решения в соответствии с выражением:

Найдем значение , которое максимизирует F(x¹):

Т.к. то примем .

Вычислим координаты точки x¹ и значения вектора градиента в этой точке:

Линеаризуем функцию F(x) относительно точки x1 и заменим ее линейной функцией w(x1):

Решаем задачу линейного программирования при следующих ограничениях:

Процедура решения задачи иллюстрируется последовательностью симплекс таблиц:

Т аблица 3.2

Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
		x1	x2
x 3	2	-1	2
x4	550	49	10
w0	0	6	-7

Таблица 3.3

Базисные переменные	Свободные члены	Небазисные переменные
		x1	x3
x2	1	0	1/2
x4	540	49	-5
w0	7	6	7/2

Решение задачи:

Произведем корректировку найденного решения:

Найдем значение , которое минимизирует F(x²):

Вычислим координаты точки x² , значения вектора градиента и значение функции цели в этой точке:

_{следовательно, x2 является точкой экстремума.}

Рисунок 3.4 - Графическая интерпретация метода линейных комбинаций

3.3.3 Условия теоремы Куна-Таккера

Составляем функцию Лагранжа:

здесь – левые части ограничений, приведенных к нулевой правой части; – неопределенные множители Лагранжа.

Т.к. функция имеет минимум по x и максимум по λ, то

;

Частные производные функции Лагранжа определяются выражениями:

Для того, чтобы вышеуказанные выражения имели вид равенств, введем в них дополнительные переменные:

Решение этой системы из четырех алгебраических уравнений, содержащих восемь неизвестных, можно найти с помощью симплекс-процедуры. На первом шаге в базис включаются все введенные дополнительные переменные, тогда первая симплекс-таблица соответствует таблице 3.4. Строка для функции цели отсутствует. Процедура решения иллюстрируется симплекс-таблицами (таблицы 3.4-3.5).

Проведем симплекс – преобразования и найдем допустимое базисное решение.

Т аблица 3.4

БП	Своб. члены	НП
		х1	х2
v1	6	-14	-7	1	-49
v2	-7	-7	-8	-2	-10
w1	2	-1	2	0	0
w2	550	49	10	0	0

Таблица 3.5

БП	Своб. члены	НП
		х1	v2
v1	97/8	161/8	-7/8	11/4	-161/4
x2	7/8	7/8	-1/8	1/4	5/4
w1	1/4	-11/4	2/8	-1/2	-5/4
w2	2165/4	161/4	5/4	-5/4	-25/2

Т.к. в столбце свободных членов нету отрицательных элементов, то полученое решение является допустимым.

Следовательно, координаты точки экстремума x^*:

;

Значение функции цели в этой точке: