2 Линейное программирование

2.1 Математическая модель задачи. Нахождение оптимального плана х* и экстремального значения функции

Найти максимальное значение функции F(x)=-3x₁+3x₂+4x₃ при следующих ограничениях:

Домножим второе ограничение на (-1) и введем в ограничения дополнительные переменные x₄, x₅, x₆, и искусственную переменную R следующим образом:

Пусть R, x₄, x₅, x₆ – базисные переменные, а x₁, x₂, x₃ – небазисные. Функция цели .

В первой симплекс-таблице (табл. 2.1) коэффициенты при небазисных переменных в F- и М-строках знака не меняют, т.к. осуществляется минимизация функции. Свободный член в М-строке берется с противоположным знаком.

Т аблица 2.1

БП	Своб. члены	НП
		x1	x2	x3
R	-15	-4	-2	1
x4	0	0	-1	1
x5	12	-3	-5	4
x6	-6	-5	5	-2
F	0	-3	3	4
M	15	4	2	-1

Решение, соответствующее таблице 2.1, не является допустимым, т.к. есть отрицательный свободный член.

Выберем ведущий столбец и строку: наибольший мо модулю отрицательный свободный член находится в -строке, в этой строке наибольший по модулю отрицательный элемент соответствует столбцу x₁, следовательно, столбец x₁ – ведущий. Находим наименьшее симплекс-отношение (отношение элементов столбца свободных членов к соответствующим элементам ведущего столбца): -15/(-5)=3,75; -12/(-3)=4; -6/(-5)=1,2. Наименьшее симплекс-отношение равно 1,2, следовательно, строка x₆ – ведущая. На пересечении ведущей строки и ведущего столбца будет ведущий элемент. После пересчета получим таблицу 2.2:

Т аблица 2.2

БП	Своб. члены	НП
		x6	x2	x3
R	-51/5	-4/5	-6	13/5
x4	0	0	-1	1
x5	-42/5	-3/5	-8	26/5
x1	6/5	-1/5	-1	2/5
F	18/5	-3/5	0	26/5
M	51/5	4/5	6	-13/5

Сначала в новой таблице заполняются строка и столбец, которые в предыдущей таблице были ведущими. Элемент на месте ведущего равен обратной величине элемента предыдущей таблицы. Элементы строки делятся не ведущий элемент, а элементы столбца так же делятся на ведущий элемент, но берутся с противоположным знаком.

Пересчет остальных элементов производится по правилу прямоугольника: прямоугольник строится по старой таблице таким образом, что одну из его диагоналей образует пересчитываемый ( ) и ведущий ( ) элементы. Вторая диагональ определяется однозначно. Для нахождения нового элемента ( ) из элемента вычитается произведение элементов противоположной диагонали:

(2.1)

Далее по аналогии находим ведущий элемент и составляем симплекс-таблицы до тех пор, пока не получим допустимое и оптимальное решение (столбец свободных членов и F-строка не должны содержать отрицательных элементов):

Т аблица 2.3 Таблица 2.4

БП	Своб. члены	НП
		x6	x5	x3
R	-39/10	-7/20	-3/4	-13/10
x4	21/20	3/40	-1/8	7/20
x2	21/20	3/40	-1/8	-13/20
x1	9/4	-1/8	-1/8	-1/4
F	18/5	-3/5	0	26/5
M	39/10	7/20	3/4	13/10

БП	Своб. члены	НП
		x6	x5
x3	3	7/26	15/26
x4	0	-1/52	-17/52
x2	3	1/4	1/4
x1	3	-3/52	1/52
F	-12	-2	-3
M	0	0	0

Т аблица 2.5 Таблица 2.6

БП	Своб. члены	НП
		x6	x3
x5	26/5	7/15	26/15
x4	17/10	2/15	17/30
x2	17/10	2/15	-13/30
x1	29/10	-1/15	-1/30
F	18/5	-3/5	26/5

БП	Своб. члены	НП
		x5	x3
x6	78/7	15/7	26/7
x4	3/14	-2/7	1/14
x2	3/14	-2/7	-13/14
x1	51/14	1/7	3/14
F	72/7	9/7	52/7

Решение является допустимым и оптимальным, т.к. в столбце свободных членов и в F-строке все коэффициенты положительны.

Искомый минимум функции F(x) равен свободному члену F-строки таблицы 2.6.

x₃=x₅=0; x₄=3/14; x₁=51/14; x₂=3/14; x₆=78/7; F_min=-72/7.