2.2 Построение и решение задачи, двойственной к исходной. Сравнение решения прямой и двойственной задач

Рассмотрим соотношение прямой и двойственной задач:

(2.2)

Число переменных двойственной задачи совпадает с числом ограничений прямой задачи.

Исходная задача:

F(x)=-3x₁+3x₂+4x₃ (min)

Так как требуется найти минимум целевой функции, то неравенства в системе ограничений должны быть вида ≥. Третье и четвертое неравенство ограничений прямой задачи умножим на (-1):

тогда

, ,

Двойственная задача беду иметь 4 переменные, так как прямая содержит 4 ограничения. В соответствии с (2.2) запишем двойственную задачу в виде:

,

Условие пример следующий вид:

,

следовательно:

Введем дополнительные переменные:

Составим симплекс-таблицу:

Т аблица 2.7

БП	Своб. члены	НП
		y1	y2	y3	y4
y5	-3	-4	0	3	5
y6	3	-2	1	5	-5
y7	4	1	-1	-4	2
F	0	15	0	-12	-6

Т аблица 2.8

БП	Своб. члены	НП
		y5	y2	y3	y4
y1	3/4	-1/4	0	-3/4	-5/4
y6	9/2	-1/2	1	7/2	-15/2
y7	13/4	1/4	-2	-13/4	13/4
F	-45/4	15/4	0	-3/4	51/4

Таблица 2.9

БП	Своб. члены	НП
		y5	y2	y6	y4
y1	12/7	-5/14	3/14	3/14	-20/7
y3	9/7	-1/7	2/7	2/7	-15/7
y7	52/7	-3/14	-15/14	13/14	-26/7
F	-72/7	51/14	3/14	3/14	78/7

Решение задачи:

y₂=y₅= y₄= y₆=0; y₁= ; y₃= ; y₇= ;

значение функции цели: F_max= .

Запишем соответствие между переменными прямой и двойственной задач:

Исходные переменные Дополнительные переменные

прямой задачи прямой задачи

x₁ x₂ x₃ R x₄ x₅ x₆

(2.3)

y₅ y₆ y₇ y₁ y₂ y₃ y₄

Дополнительные переменные Исходные переменные

двойственной задачи двойственной задачи

Соответствие не означает равенство. Оптимальное решение прямой задачи определяется коэффициентами F-строки. Переменные прямой задачи приравниваются к коэффициентам при соответствующим им небазисных переменных в F-строке оптимальной симплекс-таблицы двойственной задачи.

В двойственной задача в F-строке расположены коэффициенты при небазисных переменных y₂, y₅, y₄, y₆. С учетом (2.3) найдем оптимальное решение прямой задачи:

y₂ ↔ x₄= ;

y₅ ↔ x₁= ;

y₄ ↔ x₆= ;

y₆ ↔ x₂= ;

F_max(у)= F_min(х)= .