13. Геометрия масс: центр масс, осевые, полярные и центробежные моменты инерции, тензор инерции

Центр масс – это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого.

Моментом инерции тела называется сумма произведений масс K (катых) точек на квадрат расстояния до оси.

Моменты инерции координатных осей.

Свойства:

1.

2.

Радиус инерции тела.

Центробежный момент инерции.

Свойства:

1.

2. Центр момента инерции не зависит от т. O (центр) и от направления осей. Поэтому говорят центр момента инерции в точке.

3.

Главная ось инерции тела – ось, для которой оба центра момента инерции, содержащие индекс этой оси равны нулю.

Главная центральная ось инерции – главная ось, которая проходит через центр масс.

Тензор инерции – величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с его угловой скоростью:

14. Моменты инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)

Момент инерции твёрдого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

16. Эллипсоид инерции, свойства главных осей инерции

Эллипсоид инерции – поверхность 2-го порядка, построенный в любой точке тела, характеризующий спектр момента инерции тела относительно оси, проходящей через данную точку.

– произвольная прямая.

- момент инерции.

Оси x, y, z – главные оси инерции.

Эллипсоид инерции построен для каждой точки тела.

Эллипсоид построенный для центра масс – центральный эллипсоид.

Если , то . Если , то .

Эллипсоид инерции:

1) Трехосный

2) Вращения

3) Сферический

Главный момент инерции – момент инерции относительно главных осей. Главный центральный момент инерции – момент инерции относительно главных центральных осей инерции.

18. Количество движения, момент количеств движения, кинетическая энергия твердого тела

Количество движения твердого тела выражается следующим равенством:

Момент количеств движения твердого тела определяется формулой:

Кинетическая энергия твердого тела определяется формулой:

19. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Тело не свободное. По принципу отбрасываем связи и заменим их силами реакции. В неподвижной системе координат уравнения движения записываются :

20. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Пусть ось z – главная центральная ось, т.е.:

Уравнения (1) и (2) служат для определения динамических реакций.

21. Статическая и динамическая уравновешенность тела

Тела динамически уравновешано:

Если , то тело статически уравновешано.

Если , то тело динамически уравновешано.

22. Плоское движение твердого тела

Свободное твердое тело будет совершать плоское движение, если в нем существует плоское сечение, относительно которого масса тела распределена симметрично; силы, действующие на тело, расположены в плоскости этого сечения, а начальные скорости всех точек тела расположены в плоскостях, параллельных плоскости сечения.

а) Теорема о движении центра масс.

б) Теорема об изменении момента количества движения.