3.1.4 Критерий Гурвица

Критерий Гурвица, как и критерий Стодола, определяет устойчивость по характеристическому полиному системы без непосредственного вычисления его корней. Однако критерий Стодола является необходимым критерием устойчивости, но не является достаточным. То есть, если по критерию Стодола система неустойчива, то она действительно является неустойчивой, если по критерию система устойчива, то для подтверждения ее устойчивости требуются дополнительные расчеты. Например, характеристический полином

s³ + s² + 2s + 8

по критерию Стодола соответствует устойчивой системе, однако корни этого полинома равны s₁ = -2, s_2,3 = 0,5  j1,94. То есть система фактически является неустойчивой, хотя коэффициенты полинома положительны.

Критерий Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем.

Исходной информацией для данного критерия является характеристический полином системы: разомкнутой A(s) или замкнутой D(s) – в зависимости от того, какая система анализируется.

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_n+1 по a₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a₀, a₂, a₄… или a₁, a₃, a₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находиться на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива независимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

Для этого определяется ХПЗС:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s⁴ + 3s³ + s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

Матрица имеет вид

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители (диагональные миноры матрицы):

Δ₁ = 5 > 0,

,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива. ♦

3.1.5 Критерий Михайлова

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где  - запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

D_з(s) = A(s) + B(s)^.e^-s.

2) Подставляется s = j: D_з(j) =Re() + Im().

3) Записывается уравнение годографа Михайлова D_з(j) и строится кривая на комплексной плоскости.

Д ля устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рисунок 1.43), начинаясь при  = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании  от 0 до  n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

Пример. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид (см. предыдущий пример):

D(s) = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

После подстановки s = j получается выражение для годографа Михайлова:

D(j) = 2(j)⁴ + 5(j)³ + 10(j)² + 6 j + 1 = 2⁴ - 5j³ - 10² + 6 j + 1 =

= Re_D() + j^.Im_D(),

где Re_D() = 2⁴ - 10² + 1 – действительная часть выражения годографа,

Im_D() = - 5³+ 6 - мнимая часть.

Далее, варьируя частоту  от 0 до бесконечности, рассчитываются точки годографа (см. таблицу 1.3) и на комплексной плоскости строится кривая (см. рисунок 1.44).

Таблица 1.3

	ReD()	ImD()
0	0	1
0,1	0,1	0,9002
0,5	0,2	0,6032
1	0,5	-1,375
2	1	-7
5	2	-7
10	2,5	16,625
		-

Рисунок 1.44

Годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и последовательно обходит четыре квадранта (степень характеристического полинома также равна n = 4), следовательно, система устойчива. Это подтверждает результат, полученный в предыдущем примере. 