Уравнение Дирака
1. нельзя интерпретировать как плотность вероятности нахождения частицы, эта величина определяется не только начальным зарядом ВФ но и начальными значениями производной
2. Релятивистское УШ должно содержать первые производные ВФ по координате
3. Принцип суперпозиции состояний. Волновое уравнении должно быть линейным
На основе этих соображений для описания движения свободной частицы Дираком было сформулировано следующее уравнение
(1)
(2)
(3)
Оно имеет полное, хотя и формальное, сходство с УШ. Чтобы был оператор гамильтона, необходимо чтобы для него существовало такое же соотношение как для энергии и импульса в релятивистской теории
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Заметим, что действие тех операторов не могут сводиться к умножению ВФ на некоторые числа. С помощью операторов, сводящихся к случайным числам невозможно было бы сводить к этим соотношениям. Но существует определенный класс операторов, который представляет собой числа, но удовлетворяет соотношением. Это матрицы. Будем искать среди квадратичных матриц
(13) В общем случае это комплексные
числа. Определим число n.
Будем считать что все матрицы одинакового
порядка. Сопоставим этим матрицам
определитель
Прежде всего отметим свойства матриц
(14)
(15)
(16)
Если n=2 то матрицы второго порядка. Пример двухрядных матриц = матрицы Паули
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
Где
унитарная матрица
.
Также удовлетворяют соотношениям
антикоммутации а также их квадрат равен
I. Причем необходимо
отметить, что все физические следствия
удовлетворяют уравнениям Дирака и не
зависят от набора матриц. Так как матрицы
и
четвертого порядка, ВФ
должна быть четырехкомпонентной. Запишем
в виде столбца
Тогда уравнение Дирака (матричное) будет эквивалентно четырем уравнениям
(25)
Для того чтобы записать уравнение
Дирака, описывающее движение заряженной
частицы во внешнем электрическом поле,
необходимо оператор импульса
заменить на канонический оператор
.
Тогда справа умножится на скалярный
потенциал
(26)
Вернемся к уравнению Дирака для частицы, движущейся свободно
(9)
(9’)
Произведем действие
(27)
То есть мы пришли к уравнению непрерывности.
- плотность вероятности положения
частицы в той или иной точке пространства,
так как сугубо положительная величина
(28)
Таким образом, как и в теории Шредингера ВФ допускает обычную вероятностную интерпретацию, а если так, то значит остаются в силе все основные положения квантовой механики
1. Интерпретация величины
,
где
коэффициент разложения ВФ в ряд по СФ
некоторого самосопряженного оператора
2. Определение среднего значения
вся схема построения квантовой механики справедлива для уравнения Дирака, то есть Дирак получил уравнения, которые не противоречили основным положениям квантовой механики