Ковариантная форма уравнения Дирака
Уравнение Дирака, описывающее свободное движение частиц имеет вид
(1)
В пространстве и времени переменные . Для этого введем координаты
(2)
получающиеся из матриц Дирака и следующим образом
(3)
(4)
(5)
(6)
Конкретный вид матриц
входящих в уравнение (6) не имеет
существенного значения. Необходимо
чтобы набор матриц
удовлетворял соотношению (5). Допустим
имеется другая совокупность матриц
также удовлетворяющая перестановочным
соотношениям (5) Как показал Паули в этом
случае всегда найдется такая неособенная
матрица S (Определитель
не равен нулю, существует обратная
матрица) (7)
Согласно общей теории унитарных преобразований уравнение Дирака остается неизменным
(8)
Перепишем уравнение (6), отделив временную компоненту. Это будет
Тогда уравнение, эрмитово-сопряженное данному можно записать в виде
Умножая на матрицу
с использованием перестановочных
соотношений (5) мы получаем
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Необходимо рассмотреть переходное уравнение движения в электромагнитном поле, описывающееся трехмерным потенциалом
(15)
Этот переход осуществлен с помощью преобразования
(16)
(17) запись в релятивистской инвариантной
форме
(18)
(19)
(20)
Необходимо доказать, что требуемая релятивистская инвариантность и инвариантность относительно градиентного преобразования потенциалов будут выполняться и в том случае, когда уравнение (17) будет записано следующим уравнением
(21)
- некоторый безразмерный параметр
для электронов
для нуклонов
Зарядовое сопряжение. Частицы и античастицы
Уравнение Дирака, описывающее взаимодействие частиц с полем
(1)
Найдем такое преобразование функции
,
удовлетворяющее уравнению (1) при котором
новая функция
,
удовлетворяющая такому же уравнению
(1) для частицы с зарядом –e.
Очевидно
должна удовлетворять следующему
уравнению
(2)
Найдем преобразование, обеспечивающее
переход
Рассмотрим (1) комплексно-сопряженное уравнение
(3)
(4)
(5)
То уравнение (3) переходит в уравнение (2)
(6) свойство унитарности
Определим теперь как преобразуются при операции зарядового сопряжения Дираковская сопряженная функция. Она при наличии электромагнитного поля должна удовлетворять уравнению
(7)
А зарядово-сопряженная функция
(8)
Сравнивая уравнение (7) и комплексно-сопряженное к уравнению (8) мы найдем, что
Учитывая (6) мы находим что
Таким образом, операция зарядового
сопряжения обратима в том смысле, что
если функция
является зарядово-сопряженной функцией
,
то и функция
является зарядово-сопряженной функции
(11)
(12) Матрица зарядового сопряжения
совпадает с
.
В этом случае операция зарядового
сопряжения сводится к преобразованию
(13)
(14)
(15)
Подставляя в (15) значение (4) и (6) мы получим
(16)
(17)
(18)
Покажем, что если временная зависимость соответствующая отрицательным решениям временных уравнений Дирака
(19)
то временная зависимость соответствующая положительным решениям временных уравнений Дирака
(20)
Таким образом, если ВФ описывает состояние движения частицы зарядом e, то зарядово-сопряженная функция , описывает состояние движения частицы той же массы и спина, но имеющей другой знак заряда –е, соответствующей другой знак заряда магнитного момента. Например если ВФ описывает состояние электрона, то зарядово-сопряженная функция будет описывать состояние позитрона, соответствующее переходу от частицы к античастице