Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

dolgih

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
23.01.2019
Размер:
11.21 Mб
Скачать

Редакционная коллегия СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ»

д-р техн. наук, проф. (председатель) Н.В. Пустовой д-р техн. наук, проф. (зам. председателя) Г.И. Расторгуев

д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов д-р техн. наук, проф. В.В. Губарев д-р техн. наук, проф. В.А. Гридчин д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов д-р экон. наук, проф. К.Т. Джурабаев д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев д-р техн. наук, проф. К.П. Кадомская д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков

д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев д-р физ.-мат. наук, проф. Х.М. Рахимянов д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор д-р экон. наук, проф. В.А. Титова д-р техн. наук, проф. А.И. Шалин д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко д-р техн. наук, проф. Г.М. Шумский

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ЧАСТЬ 2

НОВОСИБИРСК

2007

УДК 517 (076.1) М 34

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. К.Н. Пономарѐв, д-р техн. наук, проф. Г.М. Шумский

Коллектив авторов:

В.Я. Долгих, Г.Б. Корабельникова, Э.Б. Шварц, Г.В. Недогибченко

М 34 Математический анализ в примерах и задачах : учеб. по-

собие. Часть 2 / В.Я. Долгих, Г.Б. Корабельникова, Э.Б. Шварц, Г.В. Недогибченко; под ред. В.Н. Максименко : – 2-е изд., доп. и перераб. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007. – 208 с. – («Учебники НГТУ»).

ISBN 978-5-7782-0829-2

Настоящее пособие включает в себя теоретические сведения, задачи и упражнения по следующим разделам курса высшей математики: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких действительных переменных, их приложения к задачам геометрии и механики, дифференциальные уравнения, ряды.

Типовые задачи даны с подробными решениями. Приведены задачи для самостоятельного решения. Все задачи снабжены ответами.

УДК 517 (076.1)

ISBN 978-5-7782-0829-2

© Коллектив авторов, 2002, 2007

 

 

©

Новосибирский государственный

 

технический университет, 2002, 2007

 

 

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

– знак логического следования

– знак равносильности (эквивалентности)

– знак принадлежности

– знак соответствия

: =

– равенство по определению

– квантор общности

– квантор существования! – «существует точно один»

{a,b,c, } – множество, состоящее из элементов a,b,c,

– пустое множество

 

A B

– объединение множеств

 

 

A B

– пересечение множеств

 

 

A \ B

– разность множеств

 

 

 

 

 

 

 

A, U \ A

– дополнение множества А до универсального мно-

 

 

 

 

жества U

 

 

A B

– множество А является подмножеством множества В

 

A B

– множество А является собственным подмножеством

 

 

 

 

множества В

 

 

– множество элементов x , удовлетворяющих условию

{x

P(x)}

 

 

 

 

P(x)

 

 

f : X Y

– функция, отображающая множество X в (на) мно-

 

 

 

 

жество Y

 

 

f 1 : Y X

– функция, обратная к функции

f , отображающая

 

 

 

 

множество Y в (на) множество X

 

D( f )

– область определения функции

f

 

E( f )

– множество значений функции

f

 

f g

– композиция функций f и g ,

т.е. сложная функция,

составленная из функций f и g

[a,b] – замкнутый промежуток (отрезок, сегмент) с началом a

и концом b

(a,b) – открытый промежуток, интервал [a,b) , (a,b] – полуоткрытый отрезок

a,b

 

 

промежуток (любой из вышеперечисленных)

O(a, ε) : ={ x

 

:

 

x a

 

} – « » – окрестность точки a

 

 

 

O (a, ) : ={ x

 

:

0

 

x a

 

} – проколотая « » – окрестность

 

 

 

un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки a

– последовательность с « n »-м членом un

N : = {1, 2,

, n,

} – множество натуральных чисел

Z : ={ n,

 

, ,

, , , n, } – множество целых чисел

R

– множество действительных чисел

R

– множество положительных действительных чисел

Ro

– множество неотрицательных действительных чисел

R

– множество отрицательных действительных чисел

C

– множество комплексных чисел

Rn – « n »

– мерное арифметическое пространство

 

 

 

 

k , n

– « k » принимает все целые значения от 1 до n .

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основой математической подготовки инженера является общий курс высшей математики. Опыт показывает, что успешному усвоению этого курса, помимо работы с учебниками и конспектами лекций, способствует использование различного рода вспомогательных изданий – справочников и методических справочных пособий, отражающих объем и структуру материала, изучаемого в конкретном вузе.

Настоящее учебное пособие состоит из трех частей. Предлагаемая читателю вторая часть пособия по курсу математического анализа разработана на кафедре инженерной математики НГТУ и включает в себя главы с девятой по четырнадцатую. Она содержит 767 задач по разделам: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких действительных переменных, их приложения к задачам геометрии и механики; дифференциальные уравнения, ряды.

Пособие имеет следующую структуру: каждый параграф содержит формулировки основных определений и теорем; задачи и упражнения с подробными решениями; набор задач и упражнений для самостоятельного решения с ответами. Такая структура книги делает ее удобной для самостоятельного овладения предметом при минимальной помощи со стороны преподавателя. Начало разобранных задач обозначено символом , а завершение решения задач – символом . В некоторых случаях для наиболее употребительных определений и теорем дается вторая (краткая) их запись с помощью кванторов и логических символов. В конце каждой книги приведен список литературы, использованной авторами при подготовке материала и предлагаемой студентам для изучения данного раздела.

Настоящее пособие может быть использовано студентами всех факультетов НГТУ и других технических вузов, а также преподавателями при подготовке и проведении практических занятий.

Приведенное количество задач не только удовлетворит потребности студентов в практическом закреплении знаний по соответствующему разделу курса, но и даст возможность преподавателю разнообразить выбор задач в зависимости от уровня подготовки студентов. Ряд предлагаемых задач и упражнений может быть использован преподавателем для проведения контрольных работ.

Для наглядности часть задач иллюстрируется рисунками.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ....................................................................

5

ПРЕДИСЛОВИЕ...........................................................................................

7

Глава 9 . Функции нескольких переменных ....................................

8

9.1. Основные понятия, определения................................................

8

Задачи для самостоятельного решения ................................

10

9.2. Предел функции........................................................................

10

Задачи для самостоятельного решения ................................

12

9.3. Непрерывность функции ..........................................................

13

Задачи для самостоятельного решения ................................

14

9.4. Частные производные и дифференцируемость

 

функции.....................................................................................

14

Задачи для самостоятельного решения ................................

15

9.5. Дифференцируемость функции. Дифференциал

 

функции....................................................................................

16

Задачи для самостоятельного решения................................

18

9.6. Дифференцирование сложных и неявных функций ................

19

9.6.1. Сложные функции одной и нескольких переменных ............

19

9.6.2. Неявные функции одной и нескольких независимых

 

переменных.......................................................................

21

Задачи для самостоятельного решения ................................

22

9.7. Приложения частных производных и дифференциала ............

23

9.7.1. Приложение дифференциала к приближенным

 

вычислениям.......................................................................

23

9.7.2. Касательная поверхность и нормаль к поверхности ...............

23

204

ОГЛАВЛЕНИЕ

9.7.3. Экстремум функции двух переменных..................................

24

9.7.4. Наибольшее и наименьшее значения функции двух

 

 

переменных в замкнутой области .........................................

25

9.7.5. Формула Тейлора для функции 2-х переменных....................

26

Задачи для самостоятельного решения ................................

28

Ответы к задачам главы 9 .....................................................

29

Глава 10.

Обыкновенные дифференциальные уравнения........

33

10.1. Основные понятия и определения...........................................

33

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка....................

33

10.3. Уравнения первого порядка в нормальной или диф-

 

 

ференциальной формах, решаемые в квадратурах .................

36

 

10.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными......................

36

 

10.3.2. Однородные дифференциальные уравнения

 

 

и приводящиеся к ним.......................................................

38

10.3.3. Линейные уравнения первого порядка.

 

 

Уравнение Бернулли ..........................................................

41

10.3.4. Уравнения в полных дифференциалах.

 

 

Интегрирующий множитель...............................................

44

Задачи для самостоятельного решения ................................

48

10.4. Геометрические и физические задачи, приводящие

 

к решению дифференциальных уравнений первого

 

порядка.......................................................................................

50

Задачи для самостоятельного решения ................................

52

10.5. Дифференциальные уравнения высших порядков ...................

55

10.5.1. Основные понятия и определения. Задача Коши ..................

55

10.5.2. Интегрируемость в квадратурах ..........................................

57

Задачи для самостоятельного решения ................................

61

10.6. Линейные уравнения высших порядков .............................

62

10.6.1. Введение............................................................................

62

10.6.2. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными

 

 

коэффициентами................................................................

68

Задачи для самостоятельного решения ................................

74

 

205

10.7. Системы обыкновенных дифференциальных

 

уравнений .................................................................................

78

10.7.1. Основные понятия. Связь с дифференциальными

 

уравнениями n-го порядка ................................................

78

10.7.2. Методы интегрирования нормальных систем .......................

83

Задачи для самостоятельного решения ................................

87

10.8. Линейные системы дифференциальных уравнений.........

89

10.8.1. Введение............................................................................

89

10.8.2. Линейные системы с постоянными коэффициентами ...........

90

Задачи для самостоятельного решения ................................

95

Ответы к задачам главы 10 ...................................................

97

Глава 11. Ряды ....................................................................................

107

11.1. Числовые ряды. Основные понятия ....................................

107

11.2. Необходимый признак сходимости ряда.............................

107

11.3. Линейные операции над числовыми рядами.

 

Простейшие свойства числовых рядов..............................

108

11.4. Знакоположительные ряды..................................................

108

11.5. Знакочередующиеся ряды....................................................

113

11.6. Знакопеременные ряды........................................................

113

Задачи для самостоятельного решения ...........................

115

Ответы к задачам главы 11 ..............................................

118

Глава 12. Функциональные ряды ..................................................

119

12.1. Функциональные ряды. Основные понятия..........................

119

Задачи для самостоятельного решения .............................

120

12.2. Равномерная сходимость функциональных рядов................

121

Задачи для самостоятельного решения .............................

122

12.3. Свойства равномерно сходящихся функциональных

 

рядов.......................................................................................

122

12.4. Степенные ряды. Свойства степенных рядов .......................

123

Задачи для самостоятельного решения .............................

125

206

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций

в ряд Тейлора и Маклорена ...................................................

125

Задачи для самостоятельного решения .............................

129

12.6. Приложения степенных рядов ...............................................

130

Задачи для самостоятельного решения .............................

133

Ответы к задачам главы 12 ................................................

134

Глава 13. Ряды Фурье. Интеграл Фурье ......................................

137

13.1. Ортогональные системы функций. Основная

 

тригонометрическая система функций (ОТС) ......................

137

13.2. Ряд Фурье по ортогональной системе функций....................

138

13.3. Тригонометрические ряды Фурье..........................................

138

Задачи для самостоятельного решения ............................

142

13.4. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье ..............................

143

Задачи для самостоятельного решения ............................

147

Ответы к задачам главы 13 ................................................

148

Глава 14. Кратные, криволинейные, поверхностные

интегралы ..........................................................................

151

14.1. Определение кратного интеграла.

 

Определение двойного и тройного интегралов....................

151

14.2. Двойные интегралы................................................................

152

14.2.1. Области на плоскости .....................................................

152

Задачи для самостоятельного решения .............................

154

14.2.2. Повторный интеграл .......................................................

154

Задачи для самостоятельного решения .............................

155

14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых

координатах...................................................................

156

Задачи для самостоятельного решения .............................

158

14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле ........................

159

Задачи для самостоятельного решения .............................

163