dolgih

3.Список точек, полученный в пунктах 1 и 2 дополняем вершинами ломаной Г.

4.Вычисляем значения функции в точках полученного списка

ивыбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые и будут

искомыми.

Пример 17. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-

сточкой О(0; 0)) .

3.Вершины ломаной в точках А(4; 2) и В(4; 2).

9.7.5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Если функция f (x, y) дифференцируема n + 1 раз в некоторой окрестности U (M0 ) точки M0 (x0 , y0 ) , то для всякой точки

64.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z xy

вобласти x2 y2 1.

65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

ze ( x2 y2 ) (2x2 3y2 ) в круге x2 y2 4 .

66.Определить длины сторон прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H.

67.Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной

Тейлора в окрестности точки (2; 1).

69.Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включительно функцию f (x, y) ey cos x .

70.Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1)

до членов 3-го порядка включительно функцию f (x, y) y / x .

71. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию z(x, y) ,

определяемую уравнением z3 3yz 4x 0 , если z(1; 1) 1.

ней сферы и исключая поверхность внутренней сферы.

9.0. 10. 0. 11. 0. 12. а) 1) 1, 2) –1, 3) не существует; б) 1) 0,

2)0, 3) не существует; в) 1) 0, 2) не существует, 3) 0; г) 1) 0,

2) 1, 3) не существует; 13. а) 1) 0, 2) 1, 3) 0; б) 1) 3 / 2 , 2) 0, 3) не

19.1) непрерывна; 2) разрывна; непрерывна по x и y в отдельности; 3) непрерывна. Перейти к полярным координатам.

27.dz (x2 y2 ) 1 / 2 ( y x2 y2 ) 1 xdx (x2 y2 ) 1 / 2 dy .

28.dz x 2 cos 2 ( y2 / x) y(2xdy ydx).

29.dz y 2tg(x/ y)(xdy ydx) .

30.df (1; 2; 1) 5dz 2(dx 2dy) /25 .

31. dz 3x(x 2y)dx 3(x2 y2 )dy,

d 2 z 6 x y dx 2 2xdxdy y(dy)2 .

32.dz (1 / x2 1 / y2 )(xdy ydx),

d 2 z 2 y(dx)2 / x3 (1/ y2 1/ x2)dxdy x(dy)2 / y 2 .

33.dz (x2 2xy) 1 / 2 ((x y)dx xdy) ,

d 2 z (x2 2xy) 3 / 2 y2 (dx)2 2xydxdy x2 (dy)2 .

34.dz exy ( y2 xy 1)dx (x2 xy 1)dy , d 2 z exy y( y2 xy 2)(dx)2

2(x y)(xy 2)dxdy x(x2 xy 2)(dy)2 .

35.du (y z)dx (x z)dy (x y)dz , d 2u 2(dxdy dydz dxdz ) .

36.du exyz ( yzdx zxdy xydz) ,

d 2u exyz ( yzdx xzdy xydz)2 2(zdxdy xdydz ydzdx) .

43.dz (2uv v2 ) sin y (u2 2uv) y sin x dx

(2uv v2 )x cos y (u2 2uv) cos x dy .

44.z 2xf (u,v) 2yf (u,v) / (x y)2 ,

xv u

45. dz y 2 (cos(x/ y) fu (u, v) y/ x fv(u, v)/2)( ydx xdy) .

46.a) y ( y2e2x xe2 y ) / (x2e2 y ye2x ) ;

б) y ( y cos x sin(x y)) / (sin(x y) sin x) .

47.a) y (x y 1) / (x y 1), y 4(x y) / (x y 1)2 ; б) y (1 y2 )/ y2 , y 2(1 y2 )/ y5 .

64.zнаиб 1/2 в точках (1/ 2; 1/ 2) и ( 1/ 2; 1/ 2) ; zнаим 1/2 в точках (1/ 2; 1/ 2) и ( 1/ 2; 1/ 2) .

65.zнаим 0 в точке (0; 0); zнаиб 3/e в точках (0; 1) и (0; -1).

66.22R /3, 2 2R/3, H /3 . 67. x y z 3V 2 .

68.f (x, y) 12 15(x 2) 6(x 2)2 3(x 2)( y 1) 6( y 1)2(x 2)3 2( y 1)3 .

69.f (x, y) 1 y ( y2 x2 )/ 2! ( y3 3x2 y)/3! o( 2 ) ,

где x2 y2 .

70.f (x, y) 1 (x 1) ( y 1) (x 1)2 (x 1)( y 1) (x 1)3

71.z 1 2(x 1)/3 ( y 1)/ 2 2( x 1) 2 /9 ( y 1) 2/8 o( 2) , где (x 1)2 ( y 1)2 .

Г Л А В А 10

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называет-

ся равенство, содержащее независимую действительную перемен-

функция F – известная действительная функция от n+2 переменных.

Уравнение (10.1) называется уравнением в общем виде.

Порядком уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Уравнение, разрешенное относительно старшей входящей в него производной

y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1)), (10.2)

называется уравнением n-го порядка в нормальной форме. Решением уравнения (10.1) [или (10.2)] на интервале (a,b) на-

зывается функция y (x) , обращающая это уравнение в тождество при x (a,b) . График решения на плоскости Oxy называется инте-

гральной кривой.

Процесс нахождения решений называется интегрированием уравнения.

З а м е ч а н и е. Если искомая функция есть функция нескольких независимых переменных, дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Здесь рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.

10.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Отметим следующие формы записи уравнения первого порядка:

– уравнение первого порядка в общем виде;

– в дифференциальной форме.

Уравнение (10.4) может быть записано в форме (10.5) и наобо-

рот, посредством применения формулы y dydx .

Ниже излагаются методы решения уравнений (10.4) и (10.5). Наряду с уравнением (10.4) рассматривается «перевернутое» уравнение

ределения уравнения (10.5) понимают пересечение областей определения функций M и N; D есть подмножество плоскости Oxy.

Пример. Область определения уравнения y x 1 содержит

прямую x = 0 (перевернутое уравнение: x x ), D есть вся плоскость Oxy.

Геометрический смысл уравнения (10.4) заключается в задании в каждой точке области определения направления касательной к интегральной кривой. Дифференциальное уравнение (10.4) задает на

ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку M0 (x0 , y0 ) области определения уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи

(x0 h, x0 h) .

З а м е ч а н и е 1. Имеются и другие достаточные условия существования решения и его единственности.

Пусть в области D плоскости Oxy выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

определенная в некоторой области изменения переменных x и C и имееющая непрерывную частную производную по x, называется общим решением уравнения (10.4) в области D, если:1) C const y (x,C) – решение уравнения на интервале оси Ox, для точек ко-

торого (x; (x,C)) D ; 2) какие бы начальные условия y(x0 ) y0 ни задать, (x0 , y0 ) D , C такое, что эти начальные условия будут удовлетворены функцией вида y (x,C) (другими словами, уравнение y0 (x0 , C) разрешимо относительно С).

За м е ч а н и е 2. Если общее решение уравнения (10.4) задано

внеявном виде

то оно называется общим интегралом этого уравнения в области D. Можно сказать, что общий интеграл при различных C опреде-

ляет в области D те же кривые, что и дифференциальное уравнение (т.е. интегральные кривые).

Переменную C, входящую в общее решение или в общий инте-

грал уравнения, называют произвольной постоянной.

Решение, в каждой точке которого сохраняется единственность решения задачи Коши, называется частным решением. Решения, получаемые из общего решения, – частные до выхода их на границу области D.

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. График особого решения может проходить по границе области D, в которой выполняются условия существования и единственности решения.

Особое решение обычно можно обнаружить в процессе построения общего решения данного дифференциального уравнения. Это те интегральные кривые, которые могут быть утеряны при преобразовании данного уравнения в процессе решения.

За м е ч а н и е 3. Кроме указанных выше решений дифференциальное уравнение может иметь решения, которые не являются ни частными, ни особыми. Например, такими решениями будут решения, склеенные из «отрезков» частных и особых решений.

За м е ч а н и е 4. Если общее решение (общий интеграл) пред - ставлено в виде неопределенных интегралов от элементарных функций, то говорят, что уравнение решено в квадратурах.