Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

dolgih

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
23.01.2019
Размер:
11.21 Mб
Скачать

16

Г л а в а 9. Функции нескольких переменных

 

24. Вычислить частные производные второго порядка функции

f (x, y) в заданной точке:

 

 

1)

f ln(x2 y) , (0;1) .

2)

f y sin( y / x) , (2; ) .

3)

f arctg(x / y) , (1;1) .

4)

f (xy)x y , (1;1) .

25. Вычислить частные производные второго порядка функции

f (x, y, z) в заданной точке:

 

 

1)

f ln(x2 y2 z2 ) , (1;1;1) .

2)

f x y z , (e;1;1) .

9.5.ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

1 . Полным

приращением функции f (x , ..., x ) в

точке

 

 

1

n

 

M (x1, ..., xn ) ,

соответствующим

приращениям

аргументов

x1, x2 , ..., xn , называется разность

 

 

 

f (x1, ...,

xn ) f (x1 x1, ..., xn xn ) f (x1, ..., xn ) .

(9.1)

2 .Функция f называется дифференцируемой в точке М, если существуют такие числа A1, A2 , ..., An , что всюду в окрестности точки М полное приращение функции можно представить в виде

f (x1, x2 , ..., xn ) A1 x 1 A2 x2 ... An xn o( ) ,

где ( x1)2 ( x2 )2 ... ( xn )2 .

Теорема 9.3. (Необходимое условие дифференцируемости функции.) Если функция f дифференцируема во внутренней точке

 

M (x1, x2 , ..., xn ) D( f ) , то существуют частные

производные

 

f

(M

), i 1, 2, ..., n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 9.4. (Достаточное условие дифференцируемости функ-

ции.) Если частные производные

 

f

, i 1, 2, ..., n

существуют и

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

непрерывны во внутренней точке

M (x1, x2 , ..., xn ) D( f ) , то функ-

ция дифференцируема в М. Для дифференцируемой в точке М функции f полное приращение

f (M ) f

(M ) x

... f

(M ) x

О( ) .

(9.2)

x

1

xn

n

 

 

1

 

 

 

 

 

3 . Дифференциалом df первого порядка функции f (x1, ..., xn ) в

точке M (x1, x2..., xn ) называется главная часть полного приращения

(9.2), линейная относительно x1, ...,

xn :

 

 

df (M ) f

(M ) x

... f

(M ) x .

(9.3)

x

1

xn

n

 

1

 

 

 

 

9.5. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

17

 

 

 

 

 

 

 

Подставив

в

(9.2)

 

f (x1, ..., xn ) xk , k 1, 2, ..., n ,

получим

 

f

0,

если

l k,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l k,

l

=

1,2,…,n

и

df (x1, ..., xn ) xk или

 

xl

 

 

 

1,

если

 

 

 

 

 

 

dxk

xk ,

k 1, 2, ..., n . Тогда дифференциал функции f выражается

через дифференциалы независимых переменных:

 

 

 

 

 

 

df (M ) f

(M )dx ... f

(M )dx .

(9.4)

 

 

 

 

 

 

 

x

1

xn

n

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Функции u и v нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:

d(u v) du dv , d(uv) vdu udv ,

(9.5)

d(u / v) (vdu udv) / v2 .

4 . Если f (x1, ..., xn ) дважды дифференцируема в точке M, то в этой точке существуют все частные производные второго порядка

от f и дифференциалом 2-го порядка d 2 f

функции f (x , ..., x ) на-

 

1

n

зывается дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рас-

сматриваемого как функция переменных x1, ..., xn

при фиксирован-

ных (т.е. постоянных)

dx , ..., dx : d 2 f d (d f ) .

 

 

1

n

 

Вообще, если функция f дифференцируема m раз в точке M, то

дифференциал m-го порядка функции f:

 

d m f d(d m 1 f ), m 2, 3, ... .

(9.6)

Пример 5. Найти полное приращение и дифференциал функ-

ции f (x, y) xy2 в точке (x, y) .

 

По формуле

(9.1)

f (x, y) f (x x,

y y) f (x, y)

= (x x)( y y)2 xy2 y2 x 2xy y x( y)2 2y x y x( y)2 .

Дифференциал df есть главная часть полного приращения, ли-

нейная относительно x и y :

df (x, y) y2 x 2xy y .

 

Пример 6. Найти дифференциал функции

f (x,

y, z) x2 y3 / z4 .

Первый способ. По формуле (9.4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

2xy3

 

,

 

f

 

 

 

3x2 y2

,

 

f

 

4x2 y3

,

 

 

x

z4

 

 

 

 

 

z4

 

z

z5

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

df (x, y, z)

 

2xy3

 

dx 3

3x2 y2

dy

4x2 y3

dz

 

 

 

z4

z4

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z5

 

 

xy2 (2 yzdx 3xzdy 4xydz) / z5.

18

Г л а в а 9. Функции нескольких переменных

 

 

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (9.5):

 

2

 

3

1

 

1

 

2

 

3

 

2

 

3

1

 

df (x, y, z) d x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

d (x

 

y

 

) x

 

y

 

d

 

 

 

 

 

 

z

4

z

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

( y3 2xdx x2 3y2dy) / z4 +

x2 y3 ( 4dz / z5 ) xy2 (2yzdx 3xzdy 4xydz) / z5 .

Пример 7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции f (x, y) .

По формуле (9.4): df fxdx f ydy . По формуле (9.6) при

m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

d 2 f d(df ) d( f dx f dy) ( f dx f dy) dx ( f dx f dy) dy

x

y

x

y

 

x

x

y y

= f

(dx)2

2 f dxdy

f

(dy)2

;

 

xx

 

xy

 

yy

 

 

 

d3 f d (d 2 f ) ( f

(dx)2 2 f dxdy f

(dy)2 ) dx ( f

(dx)2

 

xx

 

xy

 

yy

x

xx

 

 

+ 2 f dxdy f

(dy)2 ) dy f (dx)3

3 f (dx)2 dy

 

 

xy

yy

y

xxx

 

xxy

 

 

 

3 f

dx(dy)2

f

(dy)3 .

 

 

 

 

xyy

 

yyy

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Найти полное приращение и дифференциал функции z:

26. а) z x2 xy y2 , если x изменяется от 2 до 2,1, а y

от 1 до 1,2.

б) z lg(x2 y2 ) , если x изменяется от 2 до 2,1, а y

от 1 до 0,9.

Найти дифференциал функций:

27. z ln( y x2 y2 ) . 28. z tg( y2 / x) . 29. z ln cos( x / y) .

30.Найти df (1; 2; 1), если f (x, y, z) z /(x2 y2 ) . Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков.

31.z x3 3x2 y y3 . 32. z y / x x / y . 33. z x2 2xy .

34. z (x y)exy .

35. u xy yz zx .

36. u exyz .

9.6. Дифференцируемость сложных и неявных функций

19

 

 

9.6.ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛОЖНЫХ

И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ

9.6.1.СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1 . Пусть u f (x , ...,

x ) и,

в свою очередь, x

1

(t), .., x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

n (t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 9.5. Если функции 1(t), ..., n (t)

дифференцируемы в

точке M (x1, ..., xn ) M 1(t), ..., n (t) ,

то для производной слож-

ной функции

одной переменной u f

1(t), ..., n (t)

справедлива

формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (t) f

(M ) (t) ... f (M ) (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

n

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

u

 

 

dx1

 

u

 

 

dx3

 

...

u

 

 

dxn

.

 

 

 

 

(9.7)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, если t совпадает,

например,

с переменной

x1 , то

x2 2 (x1), ..., xn n (x1)

и «полная» производная функции и по

x1 равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

u

 

u

 

dx2

 

...

u

 

 

dxn

.

 

 

 

 

(9.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

Пусть

 

u f (x , ...,

x ) и,

 

 

в свою очередь, x (t , ..., t

m

) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

 

 

xn n (t1, ..., tm) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 9.6. Если функции 1, ..., n

 

дифференцируемы в

точке N(t1, ..., tm ) ,

а

 

 

функция

f

дифференцируема

 

в

точке

M (x1, ..., xn ) M

1(N), ..., n (N) ,

 

то сложная функция m пере-

менных

 

u f 1(t1, ..., tm ), ..., n (t1, ..., tm )

 

 

дифференцируема

в точке N и справедливы формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

u

 

x1

 

u

 

x2 ...

 

u

 

xn

 

 

(l 1, 2, ..., m) ,

(9.9)

 

 

 

x

t

x

x

 

 

t

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

1

 

 

l

 

2

 

 

 

l

 

 

 

 

n

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при этом частные производные функции u по xk (k 1, 2, ..., n) вычислены в точке М, а частные производные функций xk по tl (l = 1, 2,…, m) вычислены в точке N.

Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид

(9.4) (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Пример 8. Найти

du

, если

u xyz , где

x t2 1,

y ln t, z tg t .

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (9.7) имеем

 

du

 

u dx

 

u

dy

 

u dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dt

 

z dt

 

 

 

 

dt

 

 

y dt

 

 

 

= yz 2t xz (1 / t) xy sec2 t

= 2t ln t tg t (t2 1) tg t / t (t2 1) ln t sec2 t .

20

 

 

 

 

 

 

Г л а в а 9.

Функции нескольких переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 9. Найти производную функции u(t) tt .

 

 

 

 

Первый способ – применить логарифмическое дифференци-

рование, как делалось для функции одной переменной.

 

 

 

 

Второй способ. Функция u(t) есть результат образования слож-

ной функции при подстановке в функцию

f (x, y) x y вместо x и y

двух одинаковых функций переменой t:

x (t) t,

y (t) t . То-

гда по формуле (9.7):

u (t) fx (x, y) (t)

f y (x, y) (t)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tt

x y x 1 x y y 1= yx y 1 x y ln x ttt 1 tt ln t =

 

tt (1 ln t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 10.

Найти z

и

dz

 

, если z yx , где y = sin2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем

z

yx

ln y .

По

формуле

(9.8)

получим

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

z

z

dy

= yx

ln x 2xyx 1 cos 2x .

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

dx

y dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 11. Найти z

, z ,

dz , если z f (u, v) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

где u ln(x2 y2 ) , v xy2 .

z f (ln(x2 y2 ), xy2 ) – сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (9.9) получим:

z

 

z u

 

z v

f

2x

f y2

;

 

 

 

 

 

x

u x

v x

 

 

 

u x2 y2

v

 

z

 

z u

 

z v

 

fu

 

 

 

 

2 y

 

fv 2xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u y

v y

 

x2 y2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

z

du z dv f

du f dv ,

 

 

 

 

 

 

 

u

v

 

 

u

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du u dx u dy

 

2x

 

dx

2 y

 

dy ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

x2 y2

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv v dx v dy y2dx 2xydy ,

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz fu

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dy

fv ( y2dx

2xydy)

 

 

 

 

 

x2 y2

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

2x

 

 

 

2 y

 

 

 

fu y2 fv dx

 

 

fu 2xyfv dy .

x2 y2

x2 y2

 

 

 

 

 

9.6. Дифференцируемость сложных и неявных функций

21

 

 

9.6.2.НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

1 . Пусть дифференцируемая в точке x0 функция y(x) задана неявно уравнением F(x, y) 0 и y = y(x) – решение этого уравнения.

Если функция F дифференцируема, то производная функции y = y(x) определяется формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx (x0 , y0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x x

 

 

F (x , y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при условии, что Fy (x0 , y0 ) 0 , где y0 = y (x0), F (x0, y0) 0.

 

 

 

2 .

Пусть

 

дифференцируемая

в точке

 

 

M 0 (x0 , ..., x0 ) функ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

ция u(x1, ..., xn )

задана

 

неявно

 

 

уравнением

 

 

F(x1, x2 , ..., xn , u) 0

и u = u(x1, ..., xn )

– решение этого уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если F дифференцируема, то частные производные функции

u = u(x , ..., x )

 

в точке М 0 определяются по формулам

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx

(M 0

, u0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k 1, 2,..., n)

 

(9.11)

 

 

 

xk

 

M M 0

 

Fu (M 0 , u0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при условии, что F (M 0 , u0 ) 0 , где u0 u(M 0 ),

F(M 0 , u0 ) 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 12. Найти y (0) , если

y 1 xey .

 

 

 

 

 

 

 

F(x, y) y xey 1 0

 

и

по

формуле

(9.10)

получаем

y (x)

 

F (x,

y)

 

 

=

 

 

 

ey

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. В нашем случае x0 = 0. Непосредст-

 

Fy (x, y)

 

 

xe y

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

венной подстановкой убедимся, что точка

N(x0 , y0 ) N(0; 1)

 

принад-

лежит графику функции, т.е.

F(x , y ) F (0; 1) (x xey 1)

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1

Поэтому y (0)

 

 

 

e1

 

e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 e1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 13. Найти z ,

z

,

если x3 2y3

z3

3xyz 2y 3 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Левую часть данного уравнения

обозначим F(x,

y, z) . По

формуле (9.11) получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

F (x, y, z)

 

 

 

 

 

 

3x2 3yz

 

 

x2 yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

y

 

Fz (x, y, z)

3z2 3xy

xy z2

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

Fy (x, y, z)

 

 

 

6 y2 3xz 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

Fz (x, y, z)

 

 

 

3(z2 xy)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

Г л а в а 9. Функции нескольких переменных

 

 

Задачи для самостоятельного решения

37.Найти dzdt , если z e2x 3 y , где x tgt , y t2 1.

38.Найти dzdt , если z x y , где x = ln t, y = sin t.

39. Найти

du

 

, если

u yz / x, где

x et , y ln t, z t2 1.

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40. Найти

z

и

dz

 

, если

z ln(ex ey ) , где y x x3 / 3.

x

dx

 

 

 

 

 

 

41. Найти

 

z

и

 

dz

, если

z arctg

x 1

, где y e( x 1)2 .

 

 

x

 

 

dx

 

 

y

42.Найти z , z , если z u2 ln v , где u y / x, v x2 y2 .

xy

43.Найти dz, если z u2v v2u , где u x sin y, v y cos x .

44.

Найти z ,

z

, если z f (u, v) , где u 2y /(x y),

v x2 3y .

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти dz, если z f (u, v) , где u sin(x/ y),

v

 

 

 

45.

 

x/ y .

46 . Найти

dy

, если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x2e2 y y2e2x 0 ,

б) y sin x cos(x y) 0 .

 

 

 

 

 

dy

,

d 2 y

 

 

 

 

 

47.

Найти

 

 

, если:

 

 

 

 

dx

dx2

 

 

 

 

 

а) x y ex y ,

б) x y arctg y 0 .

 

 

 

 

48.

Найти z

и

z

в точке (1; –2; 2), если z3 4xz y2 4 0 .

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

49.

Найти z

и

z

, если:

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

а) zln(x z) xy / z 0 , б) F(x y z, x2 y2 z2 ) 0 .

Рекомендация. Ввести u x y z, v x2 y2 z2 .

9.7. Приложения частных производных и дифференциала

23

 

 

9.7.ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

9.7.1.ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

 

Для дифференцируемой функции

f (x1, ...,

xn ) при достаточно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

малом

 

( x )2 ... ( x )2 из

формул

 

(9.1) – (9.3)

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

df или, что то же самое,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x1 x1, ..., xn xn ) f (x1, ...,

xn ) df (x1, ..., xn ) .

(9.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 14. Вычислить приближенно

 

(4, 05)2 (3, 07)2 .

 

Искомое число будем рассматривать как значение функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y)

 

x2

y2

 

при

 

x x

x

и

 

y y y ,

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x0 4,

y0

3, x 0, 05, y 0, 07 . Точка

M (4; 3) выбрана из со-

ображений “близости” ее к точке N(4, 05; 3, 07)

 

и простоты вычис-

ления значений функции f

и ее частных производных в точке М.

По формуле (9.12) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) fx (x0 , y0 ) x f y (x0 , y0 ) y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим

f (x , y )

 

 

x2 y2

 

 

 

5 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

M (4,3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x , y )

 

 

 

x

 

 

 

 

4

,

 

f (x , y )

 

 

y

 

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

0

 

 

 

 

x2 y2

 

 

 

5

 

 

 

y

0 0

 

 

 

 

x2 y2

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (4,3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (4,3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

(4, 05)2 (3, 07)2

5 (4 0, 05 3 0, 07) /

5

= 5 0, 08 5, 08.

9.7.2. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

1 . Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M 0

(точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Уравнение касательной плоскости в точке касания M0 (x0 , y0 , z0 )

имеет вид:

 

а) к поверхности F(x, y, z) = 0:

 

Fx (M0 )(x x0 ) Fy (M0 )( y y0 ) Fz (M0 )(z z0 ) 0 ,

(9.13)

б) к поверхности z f (x, y) :

z z0 fx (x0 , y0 )(x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) .

24

Г л а в а 9. Функции нескольких переменных

 

 

2 . Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Параметрические уравнения нормали в точке касания M0 (x0 , y0 , z0 )

имеют вид:

а) к поверхности F(x, y, z) 0 :

x x0 Fx (M0 )t, y y0 Fy (M0 )t, z z0 Fz (M0 )t ; (9.14)

б) к поверхности z f (x, y) :

 

x x0 fx (x0 , y0 )t,

y y0 f y (x0 , y0 )t,

z z0 t .

Пример 15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 y2 z2 8x 4y 6z 20 0 в точке М(2; 4; 6).

Обозначив через F(x,

y, z) левую часть уравнения поверхно-

сти, найдем Fx (x, y, z) 2x 8,

Fy ( x, y, z)

2y 4, Fz (x, y, z) 2z 6,

Fx (2; 4; 6) 4, Fy (2; 4; 6) 12,

Fz (2; 4; 6) 6.

По формуле (9.13) име-

ем уравнение касательной плоскости 4(x 2) 12( y 4) 6(z 6) 0

или

2x 6y 3z 38 0 . По формулам (9.14) находим уравнения

нормали в параметрической форме

x 2 4t,

y 4 12t,

z 6 6t ,

отсюда можно

получить

канонические

уравнения

нормали

 

x 2

 

y 4

 

z 6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

9.7.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

 

 

 

 

Пусть

M0 (x0 , y0 ) – внутренняя точка

области

определения

функции f (x, y) . Точка

M 0

называется точкой минимума (макси-

мума) функции f, если существует такая окрестность

V(M0 ) точки

M 0 ,

что

для

любой

точки

M (x, y) V(M0 )

выполняется

 

f (M ) f (M0 )

f (M ) f (M0 ) .

 

 

 

 

Точка M 0 называется точкой экстремума функции f, если она

является точкой минимума или точкой максимума этой функции. Теорема 9.7. (Необходимое условие экстремума.) Если

M0 (x0 , y0 ) – точка экстремума функции, то каждая частная производная fx (M0 ) и f y (M0 ) либо равна нулю, либо не существует.

Точка M 0 называется критической точкой функции f, если в ней выполняются необходимые условия экстремума функции f.

Теорема 9.8. (Достаточные условия экстремума.) Пусть: а) M 0 – критическая точка функции f ; б) существуют и непрерывны произ-

водные

f ,

f ,

f ,

f

,

f

в точках

M

0

(x , y )

и M (x, y) V(M

0

) ;

 

x

y

xx

xy

 

yy

 

 

0 0

 

 

9.7. Приложения частных производных и дифференциала

25

 

 

в)

f (M

0

) f

 

(M

0

)

 

f

(M

0

)

 

2

.

 

Тогда: 1)

 

если 0 и

 

 

 

xx

 

yy

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (M

0

) 0

 

f (M

0

)

0

 

, то

 

M

0

 

– точка минимума функции f ;

xx

 

 

yy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) если 0

и

f ( M

 

0

) 0

 

f

(M

0

)

0 , то M

0

– точка макси-

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

 

 

yy

 

 

 

 

 

 

мума функции f ;

 

3) если 0 , то M 0

не является точкой экстре-

мума; 4) если 0 , то требуется дополнительное исследование.

 

Отметим, что в случае

0

 

существуют такие две прямые,

проходящие через точку M 0 ,

что при движении точки M по первой

из этих прямых значения функции

 

f (M )

сначала уменьшаются, за-

тем возрастают. При движении точки М по другой прямой значения функции сначала возрастают, в точке M 0 достигают максимума, за-

тем уменьшаются. В этом случае M 0 называют седловой точкой.

Пример 16. Исследовать на экстремум функцию z x3 y3 3xy .Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7)

 

z

3x2 3y 0,

имеем систему

 

x

 

решая которую получаем крити-

 

z

3y2

3x 0,

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

ческие точки M1(0; 0), M2 (1; 1) . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума (теорема 9.8). Находим

z

(x,

y) 6x,

z

(x, y) 3,

z

(x, y) 6y . В

точке

 

M (0; 0) :

xx

 

 

 

xy

 

 

 

 

yy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

z

 

(M ) 0 ,

z (M ) 3 ,

z

(M

) 0 ,

z

xx

z

yy

(z

xy

)2

 

 

 

 

 

 

 

 

xx

 

 

1

xy

1

 

 

yy

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1(0;0)

9 0 . Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1(0; 0)

 

– седловая

точка.

 

В

точке

M

2

(1; 1) :

z

(M

2

) 6,

 

 

z

(M

2

) 3 ,

 

 

 

z

(M

2

) 6 ,

 

 

 

xx

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

yy

 

 

 

 

6 6 ( 3)2 27 0 , поэтому M

2

(1; 1)

– точка минимума функ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ции z;

zmin z(M2 ) 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.7.4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ

В разделе

9.3 была

сформулирована

теорема

Вейерштрас-

са (теорема 9.1), согласно

которой

всякая

функция

f (x, y) , не-

прерывная

в

замкнутой

области

U, ограниченной ломаной

Г = 1 2

... m , достигает в этой области своих наибольшего –

наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся следующим алгоритмом.

1.Находим критические точки, принадлежащие U.

2.На каждом звене k ломаной Г сводим функцию f к функции fk

одной переменной и выделяем на k критические точки функции fk .

Соседние файлы в предмете Математический анализ