dolgih
.pdf16 |
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных |
||
|
|||
24. Вычислить частные производные второго порядка функции |
|||
f (x, y) в заданной точке: |
|
|
|
1) |
f ln(x2 y) , (0;1) . |
2) |
f y sin( y / x) , (2; ) . |
3) |
f arctg(x / y) , (1;1) . |
4) |
f (xy)x y , (1;1) . |
25. Вычислить частные производные второго порядка функции |
|||
f (x, y, z) в заданной точке: |
|
|
|
1) |
f ln(x2 y2 z2 ) , (1;1;1) . |
2) |
f x y z , (e;1;1) . |
9.5.ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
1 . Полным |
приращением функции f (x , ..., x ) в |
точке |
||
|
|
1 |
n |
|
M (x1, ..., xn ) , |
соответствующим |
приращениям |
аргументов |
|
x1, x2 , ..., xn , называется разность |
|
|
|
|
f (x1, ..., |
xn ) f (x1 x1, ..., xn xn ) f (x1, ..., xn ) . |
(9.1) |
2 .Функция f называется дифференцируемой в точке М, если существуют такие числа A1, A2 , ..., An , что всюду в окрестности точки М полное приращение функции можно представить в виде
f (x1, x2 , ..., xn ) A1 x 1 A2 x2 ... An xn o( ) ,
где ( x1)2 ( x2 )2 ... ( xn )2 .
Теорема 9.3. (Необходимое условие дифференцируемости функции.) Если функция f дифференцируема во внутренней точке
|
M (x1, x2 , ..., xn ) D( f ) , то существуют частные |
производные |
|||||
|
f |
(M |
), i 1, 2, ..., n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 9.4. (Достаточное условие дифференцируемости функ- |
|||||
ции.) Если частные производные |
|
f |
, i 1, 2, ..., n |
существуют и |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
непрерывны во внутренней точке |
M (x1, x2 , ..., xn ) D( f ) , то функ- |
ция дифференцируема в М. Для дифференцируемой в точке М функции f полное приращение
f (M ) f |
(M ) x |
... f |
(M ) x |
О( ) . |
(9.2) |
x |
1 |
xn |
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 . Дифференциалом df первого порядка функции f (x1, ..., xn ) в
точке M (x1, x2..., xn ) называется главная часть полного приращения
(9.2), линейная относительно x1, ..., |
xn : |
|
|
|
df (M ) f |
(M ) x |
... f |
(M ) x . |
(9.3) |
x |
1 |
xn |
n |
|
1 |
|
|
|
|
9.5. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции |
17 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставив |
в |
(9.2) |
|
f (x1, ..., xn ) xk , k 1, 2, ..., n , |
получим |
||||||
|
f |
0, |
если |
l k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l k, |
l |
= |
1,2,…,n |
и |
df (x1, ..., xn ) xk или |
|
|
xl |
|
|
||||||||
|
1, |
если |
|
|
|
|
|
|
|||
dxk |
xk , |
k 1, 2, ..., n . Тогда дифференциал функции f выражается |
|||||||||
через дифференциалы независимых переменных: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
df (M ) f |
(M )dx ... f |
(M )dx . |
(9.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
xn |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Функции u и v нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:
d(u v) du dv , d(uv) vdu udv ,
(9.5)
d(u / v) (vdu udv) / v2 .
4 . Если f (x1, ..., xn ) дважды дифференцируема в точке M, то в этой точке существуют все частные производные второго порядка
от f и дифференциалом 2-го порядка d 2 f |
функции f (x , ..., x ) на- |
|
|
1 |
n |
зывается дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рас-
сматриваемого как функция переменных x1, ..., xn |
при фиксирован- |
||
ных (т.е. постоянных) |
dx , ..., dx : d 2 f d (d f ) . |
|
|
|
1 |
n |
|
Вообще, если функция f дифференцируема m раз в точке M, то |
|||
дифференциал m-го порядка функции f: |
|
||
d m f d(d m 1 f ), m 2, 3, ... . |
(9.6) |
||
Пример 5. Найти полное приращение и дифференциал функ- |
|||
ции f (x, y) xy2 в точке (x, y) . |
|
||
По формуле |
(9.1) |
f (x, y) f (x x, |
y y) f (x, y) |
= (x x)( y y)2 xy2 y2 x 2xy y x( y)2 2y x y x( y)2 .
Дифференциал df есть главная часть полного приращения, ли-
нейная относительно x и y : |
df (x, y) y2 x 2xy y . |
|
||||||||||||||||||||||
Пример 6. Найти дифференциал функции |
f (x, |
y, z) x2 y3 / z4 . |
||||||||||||||||||||||
Первый способ. По формуле (9.4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
f |
|
2xy3 |
|
, |
|
f |
|
|
|
3x2 y2 |
, |
|
f |
|
4x2 y3 |
, |
|
||||||
|
x |
z4 |
|
|
|
|
|
z4 |
|
z |
z5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
df (x, y, z) |
|
2xy3 |
|
dx 3 |
3x2 y2 |
dy |
4x2 y3 |
dz |
|
|||||||||||||||
|
|
z4 |
z4 |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z5 |
|
|
xy2 (2 yzdx 3xzdy 4xydz) / z5.
18 |
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных |
|
|
Второй способ. Применяем правила дифференцирования (9.5):
|
2 |
|
3 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
||||||
df (x, y, z) d x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
d (x |
|
y |
|
) x |
|
y |
|
d |
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
z |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
( y3 2xdx x2 3y2dy) / z4 +
x2 y3 ( 4dz / z5 ) xy2 (2yzdx 3xzdy 4xydz) / z5 .
Пример 7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции f (x, y) .
По формуле (9.4): df fxdx f ydy . По формуле (9.6) при
m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):
d 2 f d(df ) d( f dx f dy) ( f dx f dy) dx ( f dx f dy) dy |
|||||||
x |
y |
x |
y |
|
x |
x |
y y |
= f |
(dx)2 |
2 f dxdy |
f |
(dy)2 |
; |
|
|
xx |
|
xy |
|
yy |
|
|
|
d3 f d (d 2 f ) ( f |
(dx)2 2 f dxdy f |
(dy)2 ) dx ( f |
(dx)2 |
|
||||
xx |
|
xy |
|
yy |
x |
xx |
|
|
+ 2 f dxdy f |
(dy)2 ) dy f (dx)3 |
3 f (dx)2 dy |
|
|
||||
xy |
yy |
y |
xxx |
|
xxy |
|
|
|
3 f |
dx(dy)2 |
f |
(dy)3 . |
|
|
|
||
|
xyy |
|
yyy |
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Найти полное приращение и дифференциал функции z:
26. а) z x2 xy y2 , если x изменяется от 2 до 2,1, а y –
от 1 до 1,2.
б) z lg(x2 y2 ) , если x изменяется от 2 до 2,1, а y –
от 1 до 0,9.
Найти дифференциал функций:
27. z ln( y x2 y2 ) . 28. z tg( y2 / x) . 29. z ln cos( x / y) .
30.Найти df (1; 2; 1), если f (x, y, z) z /(x2 y2 ) . Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков.
31.z x3 3x2 y y3 . 32. z y / x x / y . 33. z x2 2xy .
34. z (x y)exy . |
35. u xy yz zx . |
36. u exyz . |
9.6. Дифференцируемость сложных и неявных функций |
19 |
|
|
9.6.ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СЛОЖНЫХ
И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
9.6.1.СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1 . Пусть u f (x , ..., |
x ) и, |
в свою очередь, x |
1 |
(t), .., x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
||||||||
n (t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 9.5. Если функции 1(t), ..., n (t) |
дифференцируемы в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке M (x1, ..., xn ) M 1(t), ..., n (t) , |
то для производной слож- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной функции |
одной переменной u f |
1(t), ..., n (t) |
справедлива |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
u (t) f |
(M ) (t) ... f (M ) (t) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
u |
|
|
dx1 |
|
u |
|
|
dx3 |
|
... |
u |
|
|
dxn |
. |
|
|
|
|
(9.7) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В частности, если t совпадает, |
например, |
с переменной |
x1 , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 2 (x1), ..., xn n (x1) |
и «полная» производная функции и по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
u |
|
u |
|
dx2 |
|
... |
u |
|
|
dxn |
. |
|
|
|
|
(9.8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 . |
Пусть |
|
u f (x , ..., |
x ) и, |
|
|
в свою очередь, x (t , ..., t |
m |
) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||||||||
xn n (t1, ..., tm) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема 9.6. Если функции 1, ..., n |
|
дифференцируемы в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке N(t1, ..., tm ) , |
а |
|
|
функция |
f |
дифференцируема |
|
в |
точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
M (x1, ..., xn ) M |
1(N), ..., n (N) , |
|
то сложная функция m пере- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
менных |
|
u f 1(t1, ..., tm ), ..., n (t1, ..., tm ) |
|
|
дифференцируема |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в точке N и справедливы формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
u |
|
x1 |
|
u |
|
x2 ... |
|
u |
|
xn |
|
|
(l 1, 2, ..., m) , |
(9.9) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
t |
x |
x |
|
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
1 |
|
|
l |
|
2 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
n |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом частные производные функции u по xk (k 1, 2, ..., n) вычислены в точке М, а частные производные функций xk по tl (l = 1, 2,…, m) вычислены в точке N.
Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид
(9.4) (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Пример 8. Найти |
du |
, если |
u xyz , где |
x t2 1, |
y ln t, z tg t . |
|||||||||||
dt |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле (9.7) имеем |
|
du |
|
u dx |
|
u |
dy |
|
u dz |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x dt |
|
z dt |
||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
y dt |
|
|
|
= yz 2t xz (1 / t) xy sec2 t
= 2t ln t tg t (t2 1) tg t / t (t2 1) ln t sec2 t .
20 |
|
|
|
|
|
|
Г л а в а 9. |
Функции нескольких переменных |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Пример 9. Найти производную функции u(t) tt . |
|
||||||||||||
|
|
|
Первый способ – применить логарифмическое дифференци- |
|||||||||||||
рование, как делалось для функции одной переменной. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
Второй способ. Функция u(t) есть результат образования слож- |
|||||||||||||
ной функции при подстановке в функцию |
f (x, y) x y вместо x и y |
|||||||||||||||
двух одинаковых функций переменой t: |
x (t) t, |
y (t) t . То- |
||||||||||||||
гда по формуле (9.7): |
u (t) fx (x, y) (t) |
f y (x, y) (t) |
получаем |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tt |
x y x 1 x y y 1= yx y 1 x y ln x ttt 1 tt ln t = |
|
||||||||||||||
tt (1 ln t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Пример 10. |
Найти z |
и |
dz |
|
, если z yx , где y = sin2x. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
z |
yx |
ln y . |
По |
формуле |
(9.8) |
получим |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
z |
z |
dy |
= yx |
ln x 2xyx 1 cos 2x . |
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
y dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример 11. Найти z |
, z , |
dz , если z f (u, v) , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
где u ln(x2 y2 ) , v xy2 .
z f (ln(x2 y2 ), xy2 ) – сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (9.9) получим:
z |
|
z u |
|
z v |
f |
2x |
f y2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
u x |
v x |
|
||||||
|
|
u x2 y2 |
v |
|
z |
|
z u |
|
z v |
|
fu |
|
|
|
|
2 y |
|
fv 2xy |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
u y |
v y |
|
x2 y2 |
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dz |
z |
du z dv f |
du f dv , |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
u |
v |
|
|
u |
|
|
|
v |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
du u dx u dy |
|
2x |
|
dx |
2 y |
|
dy , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
y |
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dv v dx v dy y2dx 2xydy , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2x |
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dz fu |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dy |
fv ( y2dx |
2xydy) |
||||||
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|||||||||||||||
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
|
2x |
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
fu y2 fv dx |
|
|
fu 2xyfv dy . |
||
x2 y2 |
x2 y2 |
||||||
|
|
|
|
|
9.6. Дифференцируемость сложных и неявных функций |
21 |
|
|
9.6.2.НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
1 . Пусть дифференцируемая в точке x0 функция y(x) задана неявно уравнением F(x, y) 0 и y = y(x) – решение этого уравнения.
Если функция F дифференцируема, то производная функции y = y(x) определяется формулой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx (x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.10) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x x |
|
|
F (x , y ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при условии, что Fy (x0 , y0 ) 0 , где y0 = y (x0), F (x0, y0) 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 . |
Пусть |
|
дифференцируемая |
в точке |
|
|
M 0 (x0 , ..., x0 ) функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
ция u(x1, ..., xn ) |
задана |
|
неявно |
|
|
уравнением |
|
|
F(x1, x2 , ..., xn , u) 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
и u = u(x1, ..., xn ) |
– решение этого уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Если F дифференцируема, то частные производные функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u = u(x , ..., x ) |
|
в точке М 0 определяются по формулам |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
(M 0 |
, u0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k 1, 2,..., n) |
|
(9.11) |
||||||||||||
|
|
|
xk |
|
M M 0 |
|
Fu (M 0 , u0 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
при условии, что F (M 0 , u0 ) 0 , где u0 u(M 0 ), |
F(M 0 , u0 ) 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 12. Найти y (0) , если |
y 1 xey . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F(x, y) y xey 1 0 |
|
и |
по |
формуле |
(9.10) |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y (x) |
|
F (x, |
y) |
|
|
= |
|
|
|
ey |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. В нашем случае x0 = 0. Непосредст- |
||||||||||||||||||||||||||
|
Fy (x, y) |
|
|
xe y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
венной подстановкой убедимся, что точка |
N(x0 , y0 ) N(0; 1) |
|
принад- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежит графику функции, т.е. |
F(x , y ) F (0; 1) (x xey 1) |
|
0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
Поэтому y (0) |
|
|
|
e1 |
|
e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 0 e1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 13. Найти z , |
z |
, |
если x3 2y3 |
z3 |
3xyz 2y 3 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Левую часть данного уравнения |
обозначим F(x, |
y, z) . По |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (9.11) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
F (x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
3x2 3yz |
|
|
x2 yz |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
Fz (x, y, z) |
3z2 3xy |
xy z2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
Fy (x, y, z) |
|
|
|
6 y2 3xz 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
Fz (x, y, z) |
|
|
|
3(z2 xy) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных |
|
|
Задачи для самостоятельного решения
37.Найти dzdt , если z e2x 3 y , где x tgt , y t2 1.
38.Найти dzdt , если z x y , где x = ln t, y = sin t.
39. Найти |
du |
|
, если |
u yz / x, где |
x et , y ln t, z t2 1. |
|||||||
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
40. Найти |
z |
и |
dz |
|
, если |
z ln(ex ey ) , где y x x3 / 3. |
||||||
x |
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
41. Найти |
|
z |
и |
|
dz |
, если |
z arctg |
x 1 |
, где y e( x 1)2 . |
|||
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
y |
42.Найти z , z , если z u2 ln v , где u y / x, v x2 y2 .
xy
43.Найти dz, если z u2v v2u , где u x sin y, v y cos x .
44. |
Найти z , |
z |
, если z f (u, v) , где u 2y /(x y), |
v x2 3y . |
|||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти dz, если z f (u, v) , где u sin(x/ y), |
v |
|
|
|
||||||||
45. |
|
x/ y . |
|||||||||||
46 . Найти |
dy |
, если: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) x2e2 y y2e2x 0 , |
б) y sin x cos(x y) 0 . |
|
|
|
||||||||
|
|
dy |
, |
d 2 y |
|
|
|
|
|
||||
47. |
Найти |
|
|
, если: |
|
|
|
|
|||||
dx |
dx2 |
|
|
|
|
||||||||
|
а) x y ex y , |
б) x y arctg y 0 . |
|
|
|
|
|||||||
48. |
Найти z |
и |
z |
в точке (1; –2; 2), если z3 4xz y2 4 0 . |
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
49. |
Найти z |
и |
z |
, если: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
а) zln(x z) xy / z 0 , б) F(x y z, x2 y2 z2 ) 0 .
Рекомендация. Ввести u x y z, v x2 y2 z2 .
9.7. Приложения частных производных и дифференциала |
23 |
|
|
9.7.ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА
9.7.1.ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
|
Для дифференцируемой функции |
f (x1, ..., |
xn ) при достаточно |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
малом |
|
( x )2 ... ( x )2 из |
формул |
|
(9.1) – (9.3) |
следует |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
df или, что то же самое, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
f (x1 x1, ..., xn xn ) f (x1, ..., |
xn ) df (x1, ..., xn ) . |
(9.12) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пример 14. Вычислить приближенно |
|
(4, 05)2 (3, 07)2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Искомое число будем рассматривать как значение функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x, y) |
|
x2 |
y2 |
|
при |
|
x x |
x |
и |
|
y y y , |
|
если |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x0 4, |
y0 |
3, x 0, 05, y 0, 07 . Точка |
M (4; 3) выбрана из со- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ображений “близости” ее к точке N(4, 05; 3, 07) |
|
и простоты вычис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ления значений функции f |
и ее частных производных в точке М. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
По формуле (9.12) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) fx (x0 , y0 ) x f y (x0 , y0 ) y . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Находим |
f (x , y ) |
|
|
x2 y2 |
|
|
|
5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
M (4,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x , y ) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
4 |
, |
|
f (x , y ) |
|
|
y |
|
|
|
|
3 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
0 |
0 |
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
y |
0 0 |
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (4,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (4,3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
(4, 05)2 (3, 07)2 |
5 (4 0, 05 3 0, 07) / |
5 |
= 5 0, 08 5, 08.
9.7.2. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
1 . Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M 0
(точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Уравнение касательной плоскости в точке касания M0 (x0 , y0 , z0 )
имеет вид: |
|
а) к поверхности F(x, y, z) = 0: |
|
Fx (M0 )(x x0 ) Fy (M0 )( y y0 ) Fz (M0 )(z z0 ) 0 , |
(9.13) |
б) к поверхности z f (x, y) :
z z0 fx (x0 , y0 )(x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) .
24 |
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных |
|
|
2 . Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Параметрические уравнения нормали в точке касания M0 (x0 , y0 , z0 )
имеют вид:
а) к поверхности F(x, y, z) 0 :
x x0 Fx (M0 )t, y y0 Fy (M0 )t, z z0 Fz (M0 )t ; (9.14)
б) к поверхности z f (x, y) : |
|
|
x x0 fx (x0 , y0 )t, |
y y0 f y (x0 , y0 )t, |
z z0 t . |
Пример 15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 y2 z2 8x 4y 6z 20 0 в точке М(2; 4; 6).
Обозначив через F(x, |
y, z) левую часть уравнения поверхно- |
|
сти, найдем Fx (x, y, z) 2x 8, |
Fy ( x, y, z) |
2y 4, Fz (x, y, z) 2z 6, |
Fx (2; 4; 6) 4, Fy (2; 4; 6) 12, |
Fz (2; 4; 6) 6. |
По формуле (9.13) име- |
ем уравнение касательной плоскости 4(x 2) 12( y 4) 6(z 6) 0
или |
2x 6y 3z 38 0 . По формулам (9.14) находим уравнения |
||||||||||||
нормали в параметрической форме |
x 2 4t, |
y 4 12t, |
z 6 6t , |
||||||||||
отсюда можно |
получить |
канонические |
уравнения |
нормали |
|||||||||
|
x 2 |
|
y 4 |
|
z 6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
9.7.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
|
||||||||||
|
|
Пусть |
M0 (x0 , y0 ) – внутренняя точка |
области |
определения |
||||||||
функции f (x, y) . Точка |
M 0 |
называется точкой минимума (макси- |
|||||||||||
мума) функции f, если существует такая окрестность |
V(M0 ) точки |
||||||||||||
M 0 , |
что |
для |
любой |
точки |
M (x, y) V(M0 ) |
выполняется |
|||||||
|
f (M ) f (M0 ) |
f (M ) f (M0 ) . |
|
|
|
|
Точка M 0 называется точкой экстремума функции f, если она
является точкой минимума или точкой максимума этой функции. Теорема 9.7. (Необходимое условие экстремума.) Если
M0 (x0 , y0 ) – точка экстремума функции, то каждая частная производная fx (M0 ) и f y (M0 ) либо равна нулю, либо не существует.
Точка M 0 называется критической точкой функции f, если в ней выполняются необходимые условия экстремума функции f.
Теорема 9.8. (Достаточные условия экстремума.) Пусть: а) M 0 – критическая точка функции f ; б) существуют и непрерывны произ-
водные |
f , |
f , |
f , |
f |
, |
f |
в точках |
M |
0 |
(x , y ) |
и M (x, y) V(M |
0 |
) ; |
|
x |
y |
xx |
xy |
|
yy |
|
|
0 0 |
|
|
9.7. Приложения частных производных и дифференциала |
25 |
|
|
в) |
f (M |
0 |
) f |
|
(M |
0 |
) |
|
f |
(M |
0 |
) |
|
2 |
. |
|
Тогда: 1) |
|
если 0 и |
|||||||
|
|
|
xx |
|
yy |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (M |
0 |
) 0 |
|
f (M |
0 |
) |
0 |
|
, то |
|
M |
0 |
|
– точка минимума функции f ; |
||||||||||||
xx |
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) если 0 |
и |
f ( M |
|
0 |
) 0 |
|
f |
(M |
0 |
) |
0 , то M |
0 |
– точка макси- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
||||||
мума функции f ; |
|
3) если 0 , то M 0 |
не является точкой экстре- |
|||||||||||||||||||||||
мума; 4) если 0 , то требуется дополнительное исследование. |
||||||||||||||||||||||||||
|
Отметим, что в случае |
0 |
|
существуют такие две прямые, |
||||||||||||||||||||||
проходящие через точку M 0 , |
что при движении точки M по первой |
|||||||||||||||||||||||||
из этих прямых значения функции |
|
f (M ) |
сначала уменьшаются, за- |
тем возрастают. При движении точки М по другой прямой значения функции сначала возрастают, в точке M 0 достигают максимума, за-
тем уменьшаются. В этом случае M 0 называют седловой точкой.
Пример 16. Исследовать на экстремум функцию z x3 y3 3xy .Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7)
|
z |
3x2 3y 0, |
||
имеем систему |
|
x |
|
решая которую получаем крити- |
|
z |
3y2 |
3x 0, |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
ческие точки M1(0; 0), M2 (1; 1) . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума (теорема 9.8). Находим
z |
(x, |
y) 6x, |
z |
(x, y) 3, |
z |
(x, y) 6y . В |
точке |
|
M (0; 0) : |
||||||||||||||||||
xx |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
z |
|
(M ) 0 , |
z (M ) 3 , |
z |
(M |
) 0 , |
z |
xx |
z |
yy |
(z |
xy |
)2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
xx |
|
|
1 |
xy |
1 |
|
|
yy |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1(0;0) |
||||||
9 0 . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M1(0; 0) |
|
– седловая |
точка. |
|
В |
точке |
|||||||||||||||||||||
M |
2 |
(1; 1) : |
z |
(M |
2 |
) 6, |
|
|
z |
(M |
2 |
) 3 , |
|
|
|
z |
(M |
2 |
) 6 , |
||||||||
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
|||||||
6 6 ( 3)2 27 0 , поэтому M |
2 |
(1; 1) |
– точка минимума функ- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции z; |
zmin z(M2 ) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.7.4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ
В разделе |
9.3 была |
сформулирована |
теорема |
Вейерштрас- |
||
са (теорема 9.1), согласно |
которой |
всякая |
функция |
f (x, y) , не- |
||
прерывная |
в |
замкнутой |
области |
U, ограниченной ломаной |
||
Г = 1 2 |
... m , достигает в этой области своих наибольшего – |
наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся следующим алгоритмом.
1.Находим критические точки, принадлежащие U.
2.На каждом звене k ломаной Г сводим функцию f к функции fk
одной переменной и выделяем на k критические точки функции fk .