Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

dolgih

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
23.01.2019
Размер:
11.21 Mб
Скачать

152

 

Г л а в а 14.

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

вующее определение (14.2) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

I f (x, y)dS

f (x, y)dxdy lim

f ( i , i ) Si ,

 

 

 

 

 

 

S

 

S

n

i 1

 

 

 

 

 

 

где точка Mi ( i , i ) Si ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

i

i

 

i

i

 

 

f (x, y, z)dV

f (x, y, z)dxdydz lim

 

 

I

 

 

 

f (

, ,

 

) V ,

 

 

V

 

 

V

 

n i 1

 

 

 

 

 

где точка Mi ( i , i , i ) Vi .

14.2.ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

14.2.1. ОБЛАСТИ НА ПЛОСКОСТИ

Определение. Область S R2 x, y назовем правильной

в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис. 14.1).

Область S будет правильной в направлении Oy , если существуют функции 1(x) и 2 (x) , определенные и непрерывные на [a; b] и такие, что координаты точек, принадлежащих S, удовлетворяют

условиям: a x b,

1(x) y 2 (x) ; тогда символически можно

записать:

 

 

 

S :

a x b;

1(x) y 2 (x) .

(14.3)

Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют функции 1( y) и 2 ( y) , определенные и непрерывные на [c; d] и такие, что координаты точек, принадлежащих S , удовлетворяют условиям: 1( y) x 2 ( y), c y d (рис. 14.2); тогда символически

S :{c y d;

y

y = 2(х)

 

S

 

 

 

 

y = 1(х)

0 a

 

b

Рис. 14.1

 

1( y) x 2 ( y)}.

(14.4)

 

y

 

 

d

 

 

x = 1(у) S

x = 2(у)

 

c

 

x

0

x

 

 

Рис. 14.2

 

Область называется правильной, если она правильная в обоих направлениях Ox и Oy.

14.2. Двойные интегралы

153

 

 

 

 

Пример 1. Область S задана уравнениями границы:

y x / 2,

y x,

x 2 .

 

Изобразить указанную область и записать как правильную.

Область S

треугольник, ограниченный прямыми

O A : y x / 2,

OB: y x,

AB : x 2 (рис. 14.3). Точки пересечения

прямых есть O(0; 0), A(2; 1), B(2; 2).

а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую O A : y x / 2 и прямую OB : y x . Поэтому в силу (14.3) область зада-

ется системой неравенств: S : 0 x 2; x / 2 y x .

б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S1 и S2 (рис. 14.4). Выразим в уравнениях границы x через независимую переменную y : OB: x = y, OA: x = 2y. Для определения границ изменения переменной y проведем прямые, парал-

лельные оси Ox. Прямая L1

пересекает прямую OB: x = y и прямую

OA: x = 2y; прямая L2

пересекает прямую OB: x = y и прямую AB: x = 2.

Итак,

S S1 S2 ,

и

в

силу

(14.4)

S1 : 0 y 1;

y x 2y ,

S2 : 1 y 2; y x 2 .

 

 

 

 

y

L

 

 

 

y

 

 

 

B

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2

 

 

 

 

 

 

S2

 

 

 

A

 

 

 

S1

A

 

 

 

 

 

 

L1

 

 

 

 

 

 

 

0

2

x

 

0

 

x

 

Рис. 14.3

 

 

 

 

Рис. 14.4

 

Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству

x2 y2

ax (a > 0) , т.е. D : {x2

y2 ax}. Изобразить данную об-

ласть и записать как правильную.

 

 

 

Преобразуя неравенство

x2 y2

ax , получим (x a / 2)2

y2 a2 / 4 . Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром

в точке С(a/2;

0). Из уравнения границы x2 y2 ax следует

 

 

 

 

 

 

y ax x2 или

x (a / 2) (a2 / 4) y2 . Область D может быть за-

писана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуок-

ружность OKL : y ax x2 и полуокружность OML: y ax x2

154

Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[рис. 14.5)], в силу (14.3) D :{ 0 x a;

ax x2 y

ax x2 }.

Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox, пере-

секает полуокружность KOM : x (a /

2)

(a2 / 4) y2 и полуок-

 

 

 

 

 

 

 

 

ружность KLM : x (a / 2) +

(a2 / 4) y2

(рис. 14.6)), и в силу

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.4): (D) : { a / 2 y a / 2;

(a / 2)

 

(a2

/ 4) y2 x (a / 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a2 / 4) y2 }.

 

 

 

 

 

 

y

M

 

y

M

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

D

L

2

 

 

 

 

D

 

 

 

a x

 

L

0

a

 

 

0

a

x

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

K

 

a

 

 

 

 

2

K

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.5

 

 

Рис. 14.6

 

Задачи для самостоятельного решения

Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.

1. S – параллелограмм со сторонами x = 3, x = 5, 3x – 2y + 4 = 0, 3x – 2y + 1 = 0.

2.

Область D задана неравенствами y x2 , y 4 x2 .

 

3.

Область

D – треугольник со сторонами у

= х, у

= 2х,

x y 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

14.2.2. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

y2 ( x)

 

 

Определение.

Повторный интеграл

dx

f (x, y)dy

есть

 

 

 

 

 

 

a y1( x)

 

 

приращение первообразной F(x,y) для f (x, y)

по переменному y,

проинтегрированное по переменному x , т.е.

 

 

 

 

 

b

y2 ( x)

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y2 ( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

f (x, y)dy F (x, y)

 

 

y y1( x) dx

 

 

 

 

 

a

y1( x)

a

 

 

 

 

b

F (x, y2 (x)) F (x, y1(x)) dx .

a

14.2. Двойные интегралы

155

 

d x2 ( y)

Определение. Повторный интеграл dy

f (x, y)dx есть

c

x1( y)

приращение первообразной Ф(x, y) для f (x, y) по переменному x, проинтегрированное по переменному y, т.е.

 

d

x2 ( y)

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x2 ( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

f (x, y)dx = Ф(x, y)

 

x x1( y) dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

x1( y)

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

Ф(x2 ( y), y) Ф(x1( y), y) dy .

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x2

 

 

 

 

Пример 3. Вычислить повторный интеграл

dx

(x 2 y)dy .

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

2

x2

(x 2 y)dy |,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

интегрируя

внутренний

интеграл

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x2

x2

 

 

 

по y, полагаем x постоянным

| dx x dy 2

ydy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

x

 

 

 

 

2

1

2

=

1

 

 

 

 

x2

2

 

 

2

/ 2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

y

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

3

 

4

 

x(x

 

x)

(x

 

x

 

)

dx (x

 

x

 

)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

=

 

x4 / 4

x5 / 5

 

2 49 / 20 .

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить повторные интегралы.

11

4.dx

00

A B

7.dx

a b

 

1

x

 

2

(x y)dy .

5. dx xy2dy

6.

d

 

0

x2

 

0

 

f (x, y)dy ,

если

 

 

(x,

y) .

f (x, y) Fxy

a

2 sin2 d .

0

156

Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

 

 

14.2.3.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Теорема 14.1. Если: 1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: {a x b, y1(x) y y2 (x)}, т.е. существует двойной интеграл f (x, y)dS , 2) существует повтор-

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

b y2 ( x)

 

 

 

 

 

 

 

ный интеграл dx

 

 

f (x, y)dy , то

 

 

 

 

 

a

y1( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

y2 ( x)

 

 

 

 

 

 

f (x, y)dS dx

f (x, y)dy

(14.5)

 

 

S

 

a y1( x)

 

 

 

Теорема 14.2. Если: 1) функция f (x, y) интегрируема в пра-

вильной в направлении Ox области

S :{ c y d,

x1( y) x x2 ( y)} ,

т.е. существует двойной интеграл

 

f (x,

y)dS ,

2) существует по-

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

d x2 ( y)

 

 

 

 

 

 

вторный интеграл dy

f (x, y)dx , то

 

 

 

 

 

c

x1( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

x2 ( y)

 

 

 

 

 

f (x, y)dS dx

f (x, y)dx

 

(14.6)

 

 

S

 

c

x1( y)

 

 

 

Из приведенных выше теорем следует, что при вычислении по-

вторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле

1

2 y

 

 

 

dy f (x, y)dx .

 

 

 

0

y

 

 

 

 

 

1

2 y

 

 

Так как из (14.6) имеем

dy

 

f (x, y)dx f (x, y)dxdy ,

 

 

0

y

D

y

A

1

D

 

 

B

0

1

2 x

 

Рис. 14.7

 

то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x = y, x = 2 – y, y = 0, y = 1 (линия y = 1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых

OA: y x,

x [0; 1] и AB : y 2 x, x [1; 2],

то D D1

D2 , где [см. (14.3)] D1 :{0 x 1;

0 y x} ,

D2 : {1 x 2; 0 y 2 x} .

14.2. Двойные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

157

 

1

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fdxdy

 

 

 

Итак,

dy

fdx =

 

 

 

 

fdxdy =

 

fdxdy

 

0

 

y

 

 

 

D D1

D2

 

 

 

 

 

 

D1

 

 

 

 

D2

 

 

 

1

x

 

 

2

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= dx f (x, y)dy dx

 

 

f (x, y )dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Вычислить

I (x y2 )dxdy

по области D, огра-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ниченной линиями y x2

 

и

y

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения па-

рабол

y x2 и

y

 

x

 

 

решаем

уравнение

x2

 

x x4

x

x4 x 0

x(x 1)(x2

x 1) 0 ,

отсюда имеем действитель-

ные корни

x1 0 , x2

1 . Таким образом, параболы пересекаются в

точках O(0; 0), A(1; 1) (рис. 14.8). Рассматривая область

D как пра-

 

 

y

 

 

 

y= x2

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

Рис. 14.8а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.8б

 

 

 

вильную

в

направлении

 

 

Oy

(рис. 14.8а),

имеем

[см.

(14.3)]

D : {0 x 1; x2

y

x} . По формуле (14.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (x y2 )dxdy dx

(x y2 )dy

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

y3

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

y x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

x x x

3

 

1

x

6

 

 

 

8

x

5 / 2

 

x4

 

x7

 

1

 

33

.

 

=

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

4

 

21

 

0

 

140

 

Если область D рассматривать как правильную в направлении

Ox (рис. 14.8б), то [см. (14.4)] D : { 0 y 1;

y2

x

 

y} . По фор-

муле (14.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

158

Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

 

 

1

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (x y2 )dxdy dy

 

 

(x y2 )dx

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

y

1

y

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 / 2

 

 

 

 

4

dy

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

=

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

dy

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y2

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

2

 

y7 / 2

3

 

y5

 

 

1

 

33

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

7

 

10

 

 

 

140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах.

1

 

y

 

r

 

 

2rx x2

 

8. dy f (x, y)dx .

9. dx

 

 

 

f (x, y)dy .

0

y

0

 

 

x

 

 

e

ln x

 

sin x

 

 

10. dx

f (x, y)dy .

11. dx

 

f (x, y)dy .

1

0

 

0

 

0

 

 

Перейти от двойного интеграла

 

f (x, y)dxdy по конечной

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

области D к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования.

12.

Область D – параллелограмм со сторонами x 3,

x 5,

3x 2y 4 0, 3x 2y 1 0 .

 

 

 

13.

D :{x2 y2 1; x 0;

y 0} .

14. D : {(x 2)2 ( y 3)2

4} .

15.D – треугольник со сторонами y x, y 2x, x y 6 .

16.D : y 2x 0; 2y x 0, xy 2 .

17.D – треугольник с вершинами O(0; 0), A(2; 1), B( 2; 1) .

18.D – сегмент, ограниченный линиями y x2 , y 1.

Вычислить двойные интегралы.

 

19.

ex y dxdy,

D : 0 x 1;

0 y 2 .

20. x3 y2dxdy,

 

D

 

 

D

D круг x2 y2 R2 .

 

 

 

21.

(x2 y)dxdy, D – область, ограниченная линиями

 

D

 

 

 

y x2 , y2

x .

 

 

 

14.2. Двойные интегралы

 

 

 

159

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

x

dxdy,

D – область, ограниченная

линиями

y2

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2, y x, xy 1.

 

 

 

 

 

 

23.

cos(x y)dxdy,

D – область,

ограниченная линиями

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0, y , y x .

 

 

 

 

 

 

24.

 

 

 

 

 

 

1 x2 y2 dxdy, D четверть круга x2

y2 1, лежащая

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в первом квадранте.

 

 

 

 

 

 

25.

 

xy2dxdy, D

область,

ограниченная параболой

 

 

D

 

 

 

 

 

 

y2 2 px и прямой x p / 2 .

 

 

 

26.

y2dxdy ,

если D ограничена осью абсцисс и первой ар-

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кой циклоиды x a(t sin t) ,

y a(1 cos t) , 0 t 2 .

14.2.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

 

Пусть функции

x x(u, v), y y(u, v) осуществляют взаимно

однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости O1uv на область S плоскости Oxy . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение u u(x, y) , v v(x, y) области S на область P, если якобиан преобразования

 

D(x, y)

 

x

y

 

 

 

 

J (u, v)

=

u

u

0 (u, v) P .

 

 

 

 

D(u, v)

 

 

xv

yv

 

Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

Теорема 14.3. Пусть x x(u, v), y y(u, v) есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости O1uv на область S из плоскости Oxy . Тогда справедливо равенство

 

f (x, y)dS f (x(u, v), y(u, v))

 

J (u, v)

 

dudv

(14.7)

 

 

S

P

 

З а м е ч а н и е. Равенство (14.7) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

160

Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

 

 

 

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

 

Формулы

 

 

x cos , y sin

(14.8)

преобразуют полярные координаты , точки в декартовы координаты этой точки и переводят область P0 : 0 2 ; 0 (или область P0 : ; 0 ) на всю плоскость Oxy.

Обратное преобразование декартовых координат в полярные

осуществляется по формулам:

 

 

 

 

0 при

y 0,

 

x2 y2 ,

arcctg x / y ( y), ( y)

y 0.

 

 

 

1 при

Фиксируя в последних формулах и , получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке O(0; 0) и луч, исходящий из точки O(0; 0) .

Якобиан преобразования

 

 

 

D(x, y)

 

 

 

 

cos

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ( , )

 

x

x

 

,

 

D( , )

y

y

sin

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и формула (14.7) принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y)dxdy

f ( cos , sin ) d d

 

(14.9)

 

S

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения

границы области интегрирования входит комбинация x2 y2 .

В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к обобщенным полярным координатам , (0 , 0 2 ( )) по формулам

 

x a cos , y b sin ,

(14.10)

a, b – постоянные, a 0,

b 0 . Тогда

 

 

 

J

 

ab , dxdy ab d d .

(14.11)

 

 

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S,

заданную в декартовой системе координат неравенством x2 y2

R2

(круг радиуса R с центром в точке O(0; 0)) .

 

 

Перейдем от декартовых координат x, y к полярным

,

по формулам x cos ,

 

y sin . Подставим x и y в исходное не-

равенство, получим: 2

cos2 2 sin2 R2 или

0 R . На

координату дополнительных ограничений не накладывается, по-

14.2. Двойные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

161

этому 0 2 (или ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В полярной системе координат круг

 

 

y

2

 

2

 

2

 

записывается неравенствами:

 

y = k2х

x

+ у = R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = k1х

P : 0 2 ; 0 R .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7. Записать в поляр-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной системе координат область S

 

 

0

 

 

x

 

 

 

часть круга, ограниченную линиями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 14.9

 

 

 

 

 

x2 y2 R2 ,

y k x ,

y k

x ( y 0 ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1, k2 – постоянные,

k1 0, k2

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в

полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами

x cos ,

y sin :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x2 y2 R2 2 cos2 2 sin2 R2 ,

R ;

 

 

 

 

2)

y k1x sin k1 cos , tg k1, arctg k1 ;

 

 

 

3) y k2 x sin k2 cos ,

tg k2 , arctg k2 .

Область S Oxy переходит в область

P O .

 

 

 

 

 

В полярной системе координат заданная область определяется

системой неравенств:

P : arctgk1 arctgk2; 0 R .

Пример 8. Вычислить двойной интеграл I ( y 2)dxdy, S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

множество точек, удовлетворяющих неравенству x2 y2 4x .

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Границей

области

является линия

 

 

 

 

 

 

x2 y2 4x или

(x 2)2 y2

4

окруж-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ность

радиуса

2

с

центром

в

точке

 

 

 

 

 

C(2; 0) (рис. 14.10).

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

x

 

 

Наличие в уравнении границы комби-

 

 

 

 

нации x2 y2

наводит на мысль, что для вы-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числения двойного интеграла удобно перейти

Рис. 14.10

 

 

 

 

к полярным координатам

,

по форму-

 

 

 

 

 

 

 

лам x cos ,

y sin ,

dxdy d d .

Уравнение

 

границы

x2 y2 4x 0

переходит

в

уравнение

2 cos2 2 sin2 4 cos 0 или ( 4cos ) 0 . Отсюда = 0

(соответствует полюсу O) и 4cos – уравнение окружности. Так

как всегда 0

(по смыслу ), то из

4cos следует

cos 0 ,

отсюда получаем

 

 

 

 

(этот же результат можно усмотреть

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования

есть P :

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 4 cos . Тогда по формуле (14.9)

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете Математический анализ