dolgih
.pdf152 |
|
Г л а в а 14. |
Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вующее определение (14.2) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
I f (x, y)dS |
f (x, y)dxdy lim |
f ( i , i ) Si , |
|
|
|
||||||
|
|
|
S |
|
S |
n |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
где точка Mi ( i , i ) Si , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i |
i |
|
i |
i |
|
|
f (x, y, z)dV |
f (x, y, z)dxdydz lim |
|
|
||||||||
I |
|
|
|
f ( |
, , |
|
) V , |
||||||
|
|
V |
|
|
V |
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
где точка Mi ( i , i , i ) Vi .
14.2.ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.2.1. ОБЛАСТИ НА ПЛОСКОСТИ
Определение. Область S R2 x, y назовем правильной
в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис. 14.1).
Область S будет правильной в направлении Oy , если существуют функции 1(x) и 2 (x) , определенные и непрерывные на [a; b] и такие, что координаты точек, принадлежащих S, удовлетворяют
условиям: a x b, |
1(x) y 2 (x) ; тогда символически можно |
||
записать: |
|
|
|
S : |
a x b; |
1(x) y 2 (x) . |
(14.3) |
Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют функции 1( y) и 2 ( y) , определенные и непрерывные на [c; d] и такие, что координаты точек, принадлежащих S , удовлетворяют условиям: 1( y) x 2 ( y), c y d (рис. 14.2); тогда символически
S :{c y d;
y
y = 2(х)
|
S |
|
|
|
|
|
y = 1(х) |
|
0 a |
|
b |
Рис. 14.1
|
1( y) x 2 ( y)}. |
(14.4) |
|
y |
|
|
d |
|
|
x = 1(у) S |
x = 2(у) |
|
c |
|
x |
0 |
x |
|
||
|
Рис. 14.2 |
|
Область называется правильной, если она правильная в обоих направлениях Ox и Oy.
14.2. Двойные интегралы |
153 |
|
|
|
|
|
Пример 1. Область S задана уравнениями границы: |
y x / 2, |
y x, |
x 2 . |
|
Изобразить указанную область и записать как правильную.
Область S – |
треугольник, ограниченный прямыми |
|
O A : y x / 2, |
OB: y x, |
AB : x 2 (рис. 14.3). Точки пересечения |
прямых есть O(0; 0), A(2; 1), B(2; 2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую O A : y x / 2 и прямую OB : y x . Поэтому в силу (14.3) область зада-
ется системой неравенств: S : 0 x 2; x / 2 y x .
б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S1 и S2 (рис. 14.4). Выразим в уравнениях границы x через независимую переменную y : OB: x = y, OA: x = 2y. Для определения границ изменения переменной y проведем прямые, парал-
лельные оси Ox. Прямая L1 |
пересекает прямую OB: x = y и прямую |
||||||
OA: x = 2y; прямая L2 |
пересекает прямую OB: x = y и прямую AB: x = 2. |
||||||
Итак, |
S S1 S2 , |
и |
в |
силу |
(14.4) |
S1 : 0 y 1; |
y x 2y , |
S2 : 1 y 2; y x 2 . |
|
|
|
|
|||
y |
L |
|
|
|
y |
|
|
|
B |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
A |
|
|
|
S1 |
A |
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
x |
|
0 |
|
x |
|
|
Рис. 14.3 |
|
|
|
|
Рис. 14.4 |
|
Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству |
|||||||
x2 y2 |
ax (a > 0) , т.е. D : {x2 |
y2 ax}. Изобразить данную об- |
|||||
ласть и записать как правильную. |
|
|
|
||||
Преобразуя неравенство |
x2 y2 |
ax , получим (x a / 2)2 |
y2 a2 / 4 . Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром
в точке С(a/2; |
0). Из уравнения границы x2 y2 ax следует |
||||
|
|
|
|
|
|
y ax x2 или |
x (a / 2) (a2 / 4) y2 . Область D может быть за- |
писана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуок-
ружность OKL : y ax x2 и полуокружность OML: y ax x2
154 |
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[рис. 14.5)], в силу (14.3) D :{ 0 x a; |
ax x2 y |
ax x2 }. |
Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox, пере-
секает полуокружность KOM : x (a / |
2) |
(a2 / 4) y2 и полуок- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ружность KLM : x (a / 2) + |
(a2 / 4) y2 |
(рис. 14.6)), и в силу |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.4): (D) : { a / 2 y a / 2; |
(a / 2) |
|
(a2 |
/ 4) y2 x (a / 2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a2 / 4) y2 }. |
|
|
|
|
|
|
y |
M |
|
y |
M |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
D |
L |
2 |
|
|
|
|
|
D |
|
|||
|
|
a x |
|
L |
||
0 |
a |
|
|
|||
0 |
a |
x |
||||
|
2 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
K |
|
a |
|
|
|
|
|
2 |
K |
|
||
|
|
|
|
|||
|
Рис. 14.5 |
|
|
Рис. 14.6 |
|
Задачи для самостоятельного решения
Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy.
1. S – параллелограмм со сторонами x = 3, x = 5, 3x – 2y + 4 = 0, 3x – 2y + 1 = 0.
2. |
Область D задана неравенствами y x2 , y 4 x2 . |
|
|||||||
3. |
Область |
D – треугольник со сторонами у |
= х, у |
= 2х, |
|||||
x y 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.2.2. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
b |
y2 ( x) |
|
|
Определение. |
Повторный интеграл |
dx |
f (x, y)dy |
есть |
|||||
|
|
|
|
|
|
a y1( x) |
|
|
|
приращение первообразной F(x,y) для f (x, y) |
по переменному y, |
||||||||
проинтегрированное по переменному x , т.е. |
|
|
|
|
|||||
|
b |
y2 ( x) |
b |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y y2 ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
f (x, y)dy F (x, y) |
|
|
y y1( x) dx |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
a |
y1( x) |
a |
|
|
|
|
b
F (x, y2 (x)) F (x, y1(x)) dx .
a
14.2. Двойные интегралы |
155 |
|
|
d x2 ( y) |
|
Определение. Повторный интеграл dy |
f (x, y)dx есть |
c |
x1( y) |
приращение первообразной Ф(x, y) для f (x, y) по переменному x, проинтегрированное по переменному y, т.е.
|
d |
x2 ( y) |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dy |
f (x, y)dx = Ф(x, y) |
|
x x1( y) dy |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
c |
x1( y) |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
Ф(x2 ( y), y) Ф(x1( y), y) dy . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить повторный интеграл |
dx |
(x 2 y)dy . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
2 |
x2 |
(x 2 y)dy |, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
интегрируя |
внутренний |
интеграл |
|||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x2 |
x2 |
|
|
|
||
по y, полагаем x постоянным |
| dx x dy 2 |
ydy |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
x |
|
|
|
|
2
1
2
=
1
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
|
2 |
/ 2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x y |
|
|
y |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
||
x(x |
|
x) |
(x |
|
x |
|
) |
dx (x |
|
x |
|
)dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
x4 / 4 |
x5 / 5 |
|
2 49 / 20 . |
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить повторные интегралы.
11
4.dx
00
A B
7.dx
a b
|
1 |
x |
|
2 |
|
(x y)dy . |
5. dx xy2dy |
6. |
d |
||
|
0 |
x2 |
|
0 |
|
f (x, y)dy , |
если |
|
|
(x, |
y) . |
f (x, y) Fxy |
a
2 sin2 d .
0
156 |
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы |
|
|
14.2.3.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
Теорема 14.1. Если: 1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: {a x b, y1(x) y y2 (x)}, т.е. существует двойной интеграл f (x, y)dS , 2) существует повтор-
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
b y2 ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
ный интеграл dx |
|
|
f (x, y)dy , то |
|
|
|
|
|
|
a |
y1( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y2 ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dS dx |
f (x, y)dy |
(14.5) |
||||
|
|
S |
|
a y1( x) |
|
|
|
||
Теорема 14.2. Если: 1) функция f (x, y) интегрируема в пра- |
|||||||||
вильной в направлении Ox области |
S :{ c y d, |
x1( y) x x2 ( y)} , |
|||||||
т.е. существует двойной интеграл |
|
f (x, |
y)dS , |
2) существует по- |
|||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
d x2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
||
вторный интеграл dy |
f (x, y)dx , то |
|
|
|
|
||||
|
c |
x1( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
x2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dS dx |
f (x, y)dx |
|
(14.6) |
||||
|
|
S |
|
c |
x1( y) |
|
|
|
Из приведенных выше теорем следует, что при вычислении по-
вторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.
Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле
1 |
2 y |
|
|
|
dy f (x, y)dx . |
|
|
|
|
0 |
y |
|
|
|
|
|
1 |
2 y |
|
|
Так как из (14.6) имеем |
dy |
|
f (x, y)dx f (x, y)dxdy , |
|
|
0 |
y |
D |
y
A
1
D
|
|
B |
0 |
1 |
2 x |
|
Рис. 14.7 |
|
то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x = y, x = 2 – y, y = 0, y = 1 (линия y = 1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых
OA: y x, |
x [0; 1] и AB : y 2 x, x [1; 2], |
то D D1 |
D2 , где [см. (14.3)] D1 :{0 x 1; |
0 y x} , |
D2 : {1 x 2; 0 y 2 x} . |
14.2. Двойные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157 |
|||||||
|
1 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fdxdy |
|
|
|
||||||
Итак, |
dy |
fdx = |
|
|
|
|
fdxdy = |
|
fdxdy |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
y |
|
|
|
D D1 |
D2 |
|
|
|
|
|
|
D1 |
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
||||
1 |
x |
|
|
2 |
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= dx f (x, y)dy dx |
|
|
f (x, y )dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Вычислить |
I (x y2 )dxdy |
по области D, огра- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ниченной линиями y x2 |
|
и |
y |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения па- |
|||||||||||||||||||||||||||
рабол |
y x2 и |
y |
|
x |
|
|
решаем |
уравнение |
x2 |
|
x x4 |
x |
|||||||||||||||
x4 x 0 |
x(x 1)(x2 |
x 1) 0 , |
отсюда имеем действитель- |
||||||||||||||||||||||||
ные корни |
x1 0 , x2 |
1 . Таким образом, параболы пересекаются в |
|||||||||||||||||||||||||
точках O(0; 0), A(1; 1) (рис. 14.8). Рассматривая область |
D как пра- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
y= x2 |
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = у |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = у |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
Рис. 14.8а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.8б |
|
|
|
||||||
вильную |
в |
направлении |
|
|
Oy |
(рис. 14.8а), |
имеем |
[см. |
(14.3)] |
||||||||||||||||||
D : {0 x 1; x2 |
y |
x} . По формуле (14.3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (x y2 )dxdy dx |
(x y2 )dy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
xy |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
x x x |
3 |
|
1 |
x |
6 |
|
|
|
8 |
x |
5 / 2 |
|
x4 |
|
x7 |
|
1 |
|
33 |
. |
||||
|
= |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
4 |
|
21 |
|
0 |
|
140 |
|
Если область D рассматривать как правильную в направлении |
|||||||||||||||||||||||||||
Ox (рис. 14.8б), то [см. (14.4)] D : { 0 y 1; |
y2 |
x |
|
y} . По фор- |
|||||||||||||||||||||||
муле (14.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158 |
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы |
|
|
1
=
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
I (x y2 )dxdy dy |
|
|
(x y2 )dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 / 2 |
|
|
|
|
4 |
||||||||||||
dy |
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
dy |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
2 |
|
y7 / 2 |
3 |
|
y5 |
|
|
1 |
|
33 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
7 |
|
10 |
|
|
|
140 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах.
1 |
|
y |
|
r |
|
|
2rx x2 |
|
|
8. dy f (x, y)dx . |
9. dx |
|
|
|
f (x, y)dy . |
||||
0 |
y |
0 |
|
|
x |
|
|
||
e |
ln x |
|
sin x |
|
|
||||
10. dx |
f (x, y)dy . |
11. dx |
|
f (x, y)dy . |
|||||
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||
Перейти от двойного интеграла |
|
f (x, y)dxdy по конечной |
|||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
области D к повторному интегралу и расставить пределы интегрирования.
12. |
Область D – параллелограмм со сторонами x 3, |
x 5, |
||
3x 2y 4 0, 3x 2y 1 0 . |
|
|
|
|
13. |
D :{x2 y2 1; x 0; |
y 0} . |
14. D : {(x 2)2 ( y 3)2 |
4} . |
15.D – треугольник со сторонами y x, y 2x, x y 6 .
16.D : y 2x 0; 2y x 0, xy 2 .
17.D – треугольник с вершинами O(0; 0), A(2; 1), B( 2; 1) .
18.D – сегмент, ограниченный линиями y x2 , y 1.
Вычислить двойные интегралы. |
|
|||
19. |
ex y dxdy, |
D : 0 x 1; |
0 y 2 . |
20. x3 y2dxdy, |
|
D |
|
|
D |
D – круг x2 y2 R2 . |
|
|
|
|
21. |
(x2 y)dxdy, D – область, ограниченная линиями |
|||
|
D |
|
|
|
y x2 , y2 |
x . |
|
|
|
14.2. Двойные интегралы |
|
|
|
159 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
22. |
|
x |
dxdy, |
D – область, ограниченная |
линиями |
||||||
y2 |
|||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2, y x, xy 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
cos(x y)dxdy, |
D – область, |
ограниченная линиями |
||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, y , y x . |
|
|
|
|
|
|
|||||
24. |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 x2 y2 dxdy, D – четверть круга x2 |
y2 1, лежащая |
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в первом квадранте. |
|
|
|
|
|
|
|||||
25. |
|
xy2dxdy, D |
– |
область, |
ограниченная параболой |
||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|||
y2 2 px и прямой x p / 2 . |
|
|
|
||||||||
26. |
y2dxdy , |
если D ограничена осью абсцисс и первой ар- |
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кой циклоиды x a(t sin t) , |
y a(1 cos t) , 0 t 2 . |
||||||||||
14.2.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ |
|
||||||||||
Пусть функции |
x x(u, v), y y(u, v) осуществляют взаимно |
однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости O1uv на область S плоскости Oxy . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение u u(x, y) , v v(x, y) области S на область P, если якобиан преобразования
|
D(x, y) |
|
x |
y |
|
|
|
|
|||
J (u, v) |
= |
u |
u |
0 (u, v) P . |
|
|
|
|
|||
|
D(u, v) |
|
|||
|
xv |
yv |
|
Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.
Теорема 14.3. Пусть x x(u, v), y y(u, v) есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости O1uv на область S из плоскости Oxy . Тогда справедливо равенство
|
f (x, y)dS f (x(u, v), y(u, v)) |
|
J (u, v) |
|
dudv |
(14.7) |
|
|
|||||
S |
P |
|
З а м е ч а н и е. Равенство (14.7) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.
160 |
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы |
|
|
|
|
|
Переход в двойном интеграле к полярным координатам |
|
|
Формулы |
|
|
x cos , y sin |
(14.8) |
преобразуют полярные координаты , точки в декартовы координаты этой точки и переводят область P0 : 0 2 ; 0 (или область P0 : ; 0 ) на всю плоскость Oxy.
Обратное преобразование декартовых координат в полярные
осуществляется по формулам: |
|
||||
|
|
|
0 при |
y 0, |
|
|
x2 y2 , |
||||
arcctg x / y ( y), ( y) |
y 0. |
||||
|
|
|
1 при |
Фиксируя в последних формулах и , получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке O(0; 0) и луч, исходящий из точки O(0; 0) .
Якобиан преобразования
|
|
|
D(x, y) |
|
|
|
|
cos |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J ( , ) |
|
x |
x |
|
, |
|
||||||
D( , ) |
y |
y |
sin |
cos |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и формула (14.7) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f (x, y)dxdy |
f ( cos , sin ) d d |
|
(14.9) |
|||||||
|
S |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения
границы области интегрирования входит комбинация x2 y2 .
В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к обобщенным полярным координатам , (0 , 0 2 ( )) по формулам
|
x a cos , y b sin , |
(14.10) |
|||
a, b – постоянные, a 0, |
b 0 . Тогда |
|
|
||
|
J |
|
ab , dxdy ab d d . |
(14.11) |
|
|
|
||||
Пример 6. Записать в полярной системе координат область S, |
|||||
заданную в декартовой системе координат неравенством x2 y2 |
R2 |
||||
(круг радиуса R с центром в точке O(0; 0)) . |
|
|
|||
Перейдем от декартовых координат x, y к полярным |
, |
||||
по формулам x cos , |
|
y sin . Подставим x и y в исходное не- |
|||
равенство, получим: 2 |
cos2 2 sin2 R2 или |
0 R . На |
координату дополнительных ограничений не накладывается, по-
14.2. Двойные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161 |
|||||||
этому 0 2 (или ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В полярной системе координат круг |
|
|
y |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||
записывается неравенствами: |
|
y = k2х |
x |
+ у = R |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у = k1х |
||||||||||
P : 0 2 ; 0 R . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 7. Записать в поляр- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ной системе координат область S – |
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
часть круга, ограниченную линиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Рис. 14.9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 y2 R2 , |
y k x , |
y k |
x ( y 0 ), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1, k2 – постоянные, |
k1 0, k2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в |
||||||||||||||||||
полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами |
||||||||||||||||||
x cos , |
y sin : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) x2 y2 R2 2 cos2 2 sin2 R2 , |
R ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
y k1x sin k1 cos , tg k1, arctg k1 ; |
|
|
|
||||||||||||||
3) y k2 x sin k2 cos , |
tg k2 , arctg k2 . |
|||||||||||||||||
Область S Oxy переходит в область |
P O . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
В полярной системе координат заданная область определяется |
||||||||||||||||||
системой неравенств: |
P : arctgk1 arctgk2; 0 R . |
|||||||||||||||||
Пример 8. Вычислить двойной интеграл I ( y 2)dxdy, S – |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
множество точек, удовлетворяющих неравенству x2 y2 4x . |
||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Границей |
области |
является линия |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x2 y2 4x или |
(x 2)2 y2 |
4 |
– |
окруж- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ность |
радиуса |
2 |
с |
центром |
в |
точке |
||||||
|
|
|
|
|
C(2; 0) (рис. 14.10). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
Наличие в уравнении границы комби- |
|||||||||
|
|
|
|
нации x2 y2 |
наводит на мысль, что для вы- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
числения двойного интеграла удобно перейти |
|||||||||||
Рис. 14.10 |
|
|
|
|
к полярным координатам |
, |
по форму- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
лам x cos , |
y sin , |
dxdy d d . |
|||||||||
Уравнение |
|
границы |
x2 y2 4x 0 |
переходит |
в |
уравнение |
||||||||||||
2 cos2 2 sin2 4 cos 0 или ( 4cos ) 0 . Отсюда = 0 |
||||||||||||||||||
(соответствует полюсу O) и 4cos – уравнение окружности. Так |
||||||||||||||||||
как всегда 0 |
(по смыслу ), то из |
4cos следует |
cos 0 , |
|||||||||||||||
отсюда получаем |
|
|
|
|
(этот же результат можно усмотреть |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования |
||||||||||||||||||
есть P : |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 4 cos . Тогда по формуле (14.9) |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|