Добавил:

borisow03 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

dolgih

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2019

Размер:

11.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

106 Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

300. x (C	C ) cos t ( C			C ) sin t , y C et C				cos t C sin t ,
2	3		2	3	1		2	3
z C et C		sin t C	cos t; x cos t,		y	1	(cos t sin t) ,
z C et C		sin t C	cos t; x cos t,		y		(cos t sin t) ,
1	2	3			2
					2

z12 (cos t sin t) .

301.x C1e t (7C2 11C3 ) cos t ( 11C2 7C3 ) sin t ,

y 2C1e t (15C2 9C3 ) cos t ( 9C2 15C3 ) sin t ,

z2C1e t ( 2C2 8C3 ) cos t ( 8C2 2C3 ) sin t .

302.y e 2x (C1 C2 x), z e 2x C1 C2 (1 x) .

303.x e t (C1 C2t) , y e t 2C1 C2 (2t 1) .

304.x C1e 2t C2et , y 2C1e 2t 3C2et 3C3et ,

z 2C1e 2t C3et . 305. x C1e t (C2t C2 C3 )et , y 2C1e t 3C2et , z 2C1e t (C2t C3 )et .

306.x C1 C3e t , y 3C1 3C2 2C3e t , z C2 2C3e t .

307.x C1 C2 (t 1) C3e t , y 3C2 2C3e t , z C1 C2t 2C3e t .

308. y x2	C e2x C e3x ,		y	x 2 C e2x 2С e3x ;		y x2	,	y x 2.
1	1	2	2	1	2	1		2

309.y 2e2x C1ex C2e x , z 9e2x 3C1ex C2e x .

310.y xex C1ex C2e x , z (x 1)ex C1ex 3C2e x .

311. x 2 cos t 3 sin 2t 2e t / 2 C1 cos(3 / 2)t C2 sin(3 / 2)t ,

y7 sin 2t e t / 2 3C1 3C2 cos(3 / 2)t

+3C1 3C2 cos(3 / 2)t .

312.x t cos t C1 cos t C2 sin t,

yt(cos t sin t) (C1 C2 ) cos t (C1 C2 ) sin t; x ( t 1) cos t sin t , y (t 2) cos t t sin t .

11.5. Знакочередующиеся ряды	113

11.5. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ

Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид


( 1)n 1un ,	un 0 .	(11.8)
n 1

Теорема 7 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда не возрастают по абсолютной величине с ростом n, т.е. на-

чиная с некоторого n, верно неравенство un 1 un и	lim un 0 , то
	n

ряд (11.8) сходится, причем, если его сумма равна s, то 0 s u1 .

( 1)n 1

Пример. Исследовать сходимость ряда .

n 1 n2

Ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница (теоре-

ма 7).

, un 1

. Очевидно,

что un 1

un .

(n 1)2

Кроме того,

lim

0 . Выполнены оба условия признака Лейбни-

n n2

ца, следовательно, ряд сходится.

( 1)n 1 n

Пример. Исследовать сходимость ряда

6n 5

n 1

Дан знакочередующийся ряд. Члены этого ряда по абсолют-

ной величине монотонно убывают. В самом деле,

n 1

un 1 ,

так как

n 1

6n 5

6(n 1) 5

6n2 n 6n2

5n 6n 5

0 .

(6n 5)(6n 1)

Однако

lim u

lim

0 . Значит,

ряд расходится по необ-

6n 5

ходимому признаку (теорема 1, следствие), по признаку Лейбница расходимость не установить.

11.6.	ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

	Ряд un	называется знакопеременным, если членами его яв-
	n 1
ляются любые действительные числа: ( n)					un R .
	Теорема	8 (признак абсолютной			сходимости). Дан ряд

un , un R .		Если сходится ряд	un	, то сходится и ряд un .
n 1		n 1			n 1

Ряд	un в	этом случае называется			абсолютно сходящимся.

n 1

114	Г л а в а 11. Ряды

Так как знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, то и к знакочередующемуся ряду можно применять признак абсолютной сходимости.

sin n

Пример. Исследовать сходимость ряда . n 1 (ln10)n

Дан знакопеременный ряд. Применим к нему признак абсолютной сходимости. Составим ряд из абсолютных величин членов

sin n

исходного ряда:

. Этот знакоположительный ряд сравним

(ln10)n

n 1

в непредельной форме с рядом

, который представляет

(ln10)n

n 1

собой геометрическую прогрессию

с q

1, следовательно,

ln10

sin n

n 1

сходится. Имеем очевидное неравенство:

(ln10)n

sin n

тогда ряд

также сходится, а значит, по признаку абсо-

(ln10)n

n 1

лютной сходимости исходный ряд сходится абсолютно.

Если ряд un

сходится, а ряд

расходится, то ряд un

n 1

называется условно сходящимся.

Пример. Исследовать на абсолютную или условную сходи-

мость так называемый ряд Лейбница

... ( 1)n 1

...

( 1)n 1

(11.9)

n 1

По признаку Лейбница (теорема 7) этот ряд

сходится,

так

как

для

него

выполняются

оба

условия

этого

признака:

a) u

и б)

lim u

lim

0 . Но ряд, составленный

n 1

n n

из абсолютных

величин

данного

ряда

...

... , является

гармоническим, который расходится (см. 11.4). Следовательно, ряд Лейбница сходится условно.

Теорема 9. В сходящемся (абсолютно или условно) ряде можно группировать члены, не меняя их порядка. Иными словами, если сходится ряд u1 u2 ... un ... , то сходится и ряд

11.6. Знакопеременные ряды				115
(u1 u2 ...	un ) (un 1 un 2 ...	ul ) + (ul 1 ul 2 ...	um ) ... ,	при-

чем оба ряда имеют одну и ту же сумму.

Теорема 10. Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.

Теорема 11. В условно сходящемся ряде при соответствующей перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.


Произведением рядов		un s1 и	vn s2 называется ряд
		n 1	n 1

wn , где	wn u1vn u 2 vn 1	... unv1 .

n 1

Теорема 12. Если перемножаемые ряды сходятся абсолютно, то ряд-произведение сходится также абсолютно и имеет сумму, рав-

ную s1 s2 .

Краткие рекомендации по применению тех или иных признаков сходимости к соответствующим рядам приведены в следующей таблице.

	Знакоположительные	Знакочередующиеся		Знакопеременные
	ряды		ряды	ряды

1.	Необходимый	1.	Необходимый.	1. Необходимый.
2.	Сравнения в непредельной	2.	Лейбница.	2. Абсолютной
	форме	3.	Абсолютной	сходимости
		3.	Абсолютной
3.	Сравнения в предельной		сходимости
	форме
4.	Даламбера
5.	Коши радикальный
6.	Коши интегральный

Следует иметь в виду, что существуют и другие признаки сходимости рядов.

Задачи для самостоятельного решения

Найти сумму ряда, исходя из определения.

	1
1.	1	.

	(3n 2)(3n 1)
n 1	(3n 2)(3n 1)
n 1

	1			3n 2n
2.		.	3.			.
	n(n 3)			6	n
n 1			n 1

116																											Г л а в а 11.											Ряды

Доказать расходимость рядов с помощью необходимого при-
знака.
	2n 1																					n
4.	2n 1					.									5.						2		.			6.								n					.
4.	2n 2					.									5.						4		.			6.						1000n							.
n 1	2n 2															n 1					n										n 1	1000n					1
n 1																n 1															n 1
Решить вопрос о сходимости рядов с помощью признаков
сравнения.
		n
7.	1	n			.			8.							1				.				9. sin					.			10.					ln n					.
		2																							n
		2																							n
n 1 1 n											n 1 ln(n 1)												n 1	2										n 1 4 n5
		n2 1
		n2 1																							4 n 1
11. ln										.												12.													.
						n	2
							2
n 1																							n 1 n 2n 7 3										n 2
			1					1				1
			1					1				1
13. sin						cos					tg			.							14. 1			cos						.
13. sin						cos					tg			.							14. 1			cos						.
n 1			n						n				n										n 1					n
Исследовать сходимость рядов с помощью признака Далам-
бера.
																		1 3...(2n 1)																(n 1)!
15. n tg								.				16.						1 3...(2n 1)						.					17.					(n 1)!						.
n 1				2n 1											n 1							3n n!											n 1	2n n
n 1															n 1																		n 1
																2										n
18. n2 sin								.				19.					n			.		20.			4			n!			.
18. n2 sin							n	.				19.					n			.		20.						n			.
n 1					2										n 1	3								n 1 n
Исследовать сходимость рядов с помощью признака																																					Коши
(радикального).

	1
21. arcsinn		.

n 1	n

	n 1		n2


22.	n			.
		n
n 1	3

3n 1

23. 2 . n 1 2n 1

Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака Коши.

	1			1
24.		.	25.			.
				2
n 2	n ln n		n 1	(n 1) ln	(n 1)

Выяснить, какие из рядов сходятся, какие расходятся.


		2 cos n												2
									n 1					2
26.					.	27.			n 1	.	28.		n		.
26.					.	27.				.	28.				.
	n 1	3 3n4 5					n 1		n			n 1 n!

29.	sin			.		30.		1	( n2 n 1			n2 n 1) .
29.	sin			.		30.			( n2 n 1			n2 n 1) .
	n 1		2n				n 1 n

11.6. Знакопеременные ряды	117

	1
31. arctgn		.

n 1	n

35. Доказать, что

		3n				1 n2 2			n!
32.				. 33.				.	34.		.
32.			n	. 33.		1 n	3	.	34.	n	.
	n 1 n2				n 1	1 n			n 1 n
lim	nn		0 .
lim			0 .
n (2n)!

Исследовать сходимость следующих рядов. В случае сходимости исследовать, как ряды сходятся: абсолютно или условно.

							1													1					sin n
36.	( 1)n 1											. 37.	( 1)n									.	38.							.
36.	( 1)n 1					(2n 1)					3	. 37.	( 1)n									.	38.			n		2		.
	n 1					(2n 1)							n 1				ln(n 1)						n 1			n
	n 1												n 1										n 1
					1										n 1											1
39.	( 1)n 1				1			.				40. ( 1)n 1			n 1				.		41.		( 1)n			1			.
						n
						n
	n 1					n 2						n 1				n							n 1				n
	n 1											n 1											n 1
		( 1)		n										2		n2								n2 n					n
42.		( 1)				.						43. ( 1)n 1		2				.			44.		( 1)	2					n		.
42.						.						43. ( 1)n 1						.			44.		( 1)	2					n		.
	n 1	n ln n										n 1			n!								n 1					2
	n 1											n 1											n 1
				2n 1						n
	( 1)		n	2n 1
45.									.
45.							1		.
	n 1			3n			1

46. Показать, что если ряды an2 и bn2 сходятся, то и ряд

n 1

anbn абсолютно сходится.

n 1

47. Показать, что если ряд an абсолютно сходится, то и ряд

n 1

an тоже абсолютно сходится.

n 1

48. Дан ряд

...

( 1)n

... .

Оценить ошибку, до-

пускаемую при замене суммы этого ряда суммой его первых четырех членов. Суммой первых пяти членов. Что можно сказать о знаке этих ошибок?

	( 1)	n 1
49. Сколько нужно взять членов ряда			, чтобы вы-
	n
n 1

числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?

118											Г л а в а 11. Ряды

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 11
1. s		1	. 2. s		11	.	3. s	3	.

	3			18			2
7. Расходится.					8. Расходится.					9.	Сходится.	10. Сходится.
11.	Сходится.			12.			Сходится.			13. Сходится.		14. Сходится.
15.	Сходится.			16.			Сходится.			17. Сходится.		18. Сходится.
19.	Сходится.			20.			Расходится.			21.	Сходится.	22. Сходится.
23.	Расходится.				24. Расходится.					25. Сходится.		26. Сходится.
27.	Расходится.				28. Сходится.					29.	Расходится.	30. Расходится.
31.	Сходится.			32.			Расходится.			33.	Сходится	34. Сходится.


36.	Сходится абсолютно.			37.	Сходится условно.
38.	Сходится абсолютно.			39.	Сходится абсолютно.
40.	Расходится.	41.	Сходится условно.			42. Сходится условно.
43.	Расходится.	44.	Сходится абсолютно.			45. Сходится абсолютно.

48.а) ошибка по модулю меньше 1201 , ошибка отрицательная.

49.а) 99 членов; б) 999 членов.

Г Л А В А 12

ФУНЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

12.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Ряд


f1(x) f2 (x) ... fn (x) ... fn (x) ,	(12.1)

n 1

членами которого являются функции от x , определенные на множестве D, называется функциональным рядом. Если числовой ряд


fn (x0 ) сходится, где	x0 D , то x0 называется точкой сходимо-
n 1

сти ряда (12.1). Множество всех точек сходимости ряда (12.1) назы-

вается областью сходимости ряда (12.1). Если		существует
lim Sn (x) S(x) , где	Sn (x) f1(x) f2 (x) ... fn (x) ,	x X , то го-
n

ворят, что ряд (12.1) сходится на множестве X к S(x). S(x) называется суммой ряда (12.1). На языке « N » это можно записать так:

lim Sn (x) S(x) ( 0) (x X ) (N

N( , x)) (n N Sn (x) S(x) ) .

Для нахождения области сходимости ряда (12.1) можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Пример. Найти область сходимости ряда

n 1 n

Данный ряд представляет собой обобщенный гармониче-

ский ряд, который сходится при x 1

и расходится при

x 1. Обла-

стью сходимости ряда является интервал (1; ) .

Пример. Найти область сходимости ряда lnn x .

n 1

Данный ряд является геометрической прогрессией, которая

сходится, если q

ln x

1 1 ln x 1

x e . Об-

ласть сходимости ряда – интервал

; e .

120	Г л а в а 12.			Функциональные ряды

Пример. Найти область сходимости ряда
		(x 2)n	.	(a)
n 2n			.	(a)
n 2n
n 1

Для нахождения области сходимости данного ряда используем признак Даламбера, который применим лишь к рядам с положительными членами. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

	x 2	n	(б)
	x 2	n

n 2n
n 2n
n 1

и к нему применим признак Даламбера (теорема 11.4). q lim

un 1

n u

lim

x 2

n 1 n 2n

x 2

lim

x 2

. Ряд (б) будет схо-

n (n 1)2n 1

n n 1

диться, если q

x 2

2 2 x 2 2 4 x 0 .

Тогда ряд (а) будет сходиться, и притом абсолютно в интервале (–4, 0). При x ( , 4) (0, ) ряд (а) расходится, как не удов-

летворяющий необходимому признаку сходимости (q 1) [следствие из теоремы (11.1)]. Если q 1, то ответа о сходимости ряда признак Даламбера не дает и при x 4 и x 0 ряд нужно исследо-

( 4 2)n

вать особо. При х = –4 из ряда (а) получим числовой ряд

n 2n

n 1

( 2)n

( 1)n

который сходится (ряд Лейбни-

n 2

n 1

ца) [см.

задачу раздела (11.6)].

При

x 0

из ряда

(а) полу-

чим

–

гармонический

ряд,

который расходится

n 1

(раздел 11.2). Итак, областью сходимости ряда (а) будет промежу-

ток [–4; 0).

Задачи для самостоятельного решения

Найти область сходимости следующих рядов.

	xn					sin nx				x
1.			.	2. n(n 1)xn .	3.			.	4. xn tg			.
		2				n	2			2	n
n 1 n				n 1	n 1				n 1

5.e n x .

n 1

	x	n
6.				.	7. 10n xn .	8. n! xn .
	1 x		2n
n 1					n 1	n 1

12.2. Равномерная сходимость функциональных рядов	121

9. n 3n xn .

n 1

cos nx

12.nx .

n 1 e

	ln(n 1)
10.		xn 1 .

n 1	n 1

(x 5)n2

13. . n 1 (n 1)n

11.

x .

n 1

14.

n 1 n 1

2x 1

x2n 1

15.

2)n

16. ( 1)n 1

(2n 1)(2n 1)!

n 1

(n!)

17.

. 18. 2n n cosn x .

19.

tg n x .

n 1 n2 (5x 9)2n 1

n 1

(3n)!

12.2.РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

Сходящийся в некотором промежутке X функциональный ряд


fn (x) называется равномерно сходящимся в этом промежутке к S(x) ,
n 1
если ( 0)	( N N( )) ( x X )	(n N Sn (x) S(x) ) .

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Дан ряд (12.1). Если существует такой знакоположительный сходящийся числовой ряд


		an ,	(12.2)
		n 1
что ( x X )	fn (x)	an , то ряд (12.1) сходится равномерно в про-
что ( x X )	fn (x)	an , то ряд (12.1) сходится равномерно в про-

межутке X.

Ряд (12.2) в этом случае называется мажорирующим рядом

или мажорантой, а ряд (12.1) – мажорируемым сходящимся ря-

дом (12.2).

cos nx

Пример. Установить равномерную сходимость ряда

n 1 n2

на любом отрезке.

Рассмотрим ряд

. Он является знакоположительным,

n 1 n

сходящимся (обобщенный гармонический,

p 2 1). Для

( x)

справедливо неравенство

cos nx

. Это значит, что

cos nx

ряд

мажорируем на ( , ) , а следовательно, сходится

n 1

равномерно на любом отрезке.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
23.01.20191.28 Mб18Bilety_Matematichesky_Analiz_Reznikov_B_S.pdf
#
23.01.2019921.09 Кб13Bilety_po_matanu_tolko_praktika.doc
#
23.01.201911.21 Mб30dolgih.pdf