Добавил:

borisow03 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

dolgih

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2019

Размер:

11.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

122

Г л а в а 12. Функциональные ряды

Пример. Показать, что ряд

сходится равномерно на

n 1 n

[– 1; 1] .

Для значений

x [ 1, 1]

очевидно

. Ряд

n n

– знакоположительный, сходящийся и, следовательно, по при-

n 1 n

знаку Вейерштрасса ряд

сходится равномерно на [–1; 1] .

n 1 n

Задачи для самостоятельного решения

Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках.

		sin nx											x	n
20.		sin nx				,		( ,		) .	21.		x				,	[–3; 3].
20.						,		( ,		) .	21.		n			3	,	[–3; 3].
	n 1		n!								n 1		3 n
		e	n2x2												1
22.		e					,	( ,		) .	23.				1				, [0; ) .
22.			n2				,	( ,		) .	23.	2n 1							, [0; ) .
	n 1		n2								n 1	2n 1				1 nx
	n 1										n 1
		(x 2)n ln n
24.									, [0; 4].
24.			n	2	2			n	, [0; 4].
	n 1		n		2
	n 1

12.3.СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

Теорема 2. Если члены ряда (12.1) – функции непрерывные в некотором промежутке X и ряд сходится в этом промежутке равномерно, то сумма его S(x) – функция также непрерывная в X.

Теорема 3. Если члены ряда (12.1) – функции непрерывные в X и ряд сходится равномерно в X, то ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [a, b] X . Иначе говоря:

	b	b				b
S(x) fn (x) S(x)dx				fn (x) dx		fn (x)dx .
n 1	a	a	n 1		n 1 a
Теорема 4. Если:		1) ряд (12.1) сходится в некотором проме-

жутке X к S(x); 2) n fn (x) – функции непрерывные в X; 3) ряд

f ( x) сходится равномерно в X, то ряд (12.1) можно почленно

n 1

12.4. Степенные ряды. Свойства степенных рядов	123

дифференцировать в каждой точке промежутка X, т.е.

S (x) fn (x) S (x)

fn (x)

fn (x) .

n 1

Пример. Исходя из соотношения

, найти сумму

xn 1

n 2n

ряда

n 1

n 2

Так как члены ряда

непрерывны в [2,

) и ряд

n 1

n 1 x

сходится равномерно в этом промежутке по признаку Вейерштрасса

(теорема 1):

, т.е. ряд

мажорируем сходящимся

n 1

n 1 x

рядом

то ряд

можно почленно интегрировать на

n 1

n 1 x

[2, ) , т.е. менять местами символы и .

1/ x

dx ln

xn 1

n 1 n 2n

n 1

1 x

ln 2 .

0 ln 1

12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Степенным рядом называется ряд вида


с0 с1x c2 x2	... cn xn ... cn xn ,	(12.3)

n 0

т.е. ряд, членами которого являются степенные функции. Всякий степенной ряд (12.3) сходится в интервале ( R, R) . R называется ра-

диусом сходимости ряда (12.3). Если R = 0, то ряд (12.3) сходится только в точке x = 0. Если R , то ряд (12.3) сходится на всей числовой оси. Если 0 R , то интервалом сходимости является конечный интервал с центром в точке x = 0 .

Более общий вид степенного ряда:

с с (x x		) c	(x x	)2 ... c	(x x )n ... .	(12.4)
0 1	0	2	0	n	0

Интервал сходимости этого ряда симметричен относительно точки x x0 : (x0 R, x0 R) .

124	Г л а в а 12. Функциональные ряды

Теорема 5. На всяком отрезке [ , ] ( R, R) ряд (12.3) сходится равномерно.

Теорема 6. Степенной ряд (12.3) можно почленно интегрировать на любом отрезке [a, b] ( R, R) .

			b		b
	Таким образом, если S(x) cn xn , то		S(x)dx		cn xndx
		n 0	a	n 0 a
	c (bn 1 an 1)
	n	.
	n 1	.
n 0	n 1
n 0
	Теорема 7.	Ряд (12.3) можно почленно дифференцировать в

каждой точке x его интервала сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.

S(x) cn xn S (x) (cn xn )

ncn xn 1 .

n 0

Пример. Найти сумму ряда x

...

... .

Обозначим сумму этого ряда через S(x) :

S(x) x

...

... .

Интервал сходимости этого ряда (–1; 1). На основании теоремы 7 его можно почленно дифференцировать в каждой точке интервала

(–1; 1):

S (x) 1 x x2 ... xn 1 ... .

Справа в этом равенстве – сумма геометрической прогрессии. Если

, откуда S(x)

1, то S (x)

ln(1 x) c . Зная,

1 x

что S(0) 0, получим

0 ln(1 0) c c 0 S(x) ln(1 x) .

Пример. Найти сумму ряда 1 3x2 5x4

... ( 1)n 1(2n 1)x2n 2 ... .

Обозначим сумму ряда через S(x) :

S(x) 1 3x2

5x4 ... ( 1)n 1(2n 1)x2n 2 ... .

Этот ряд сходится в интервале (–1; 1). На основании теоремы 6 его можно почленно интегрировать на любом отрезке [0; x] ( 1; 1) .

S(u)du

( 1)n 1(2n 1)u2n 2

n 1

2n 1

( 1)n 1(2n 1) u2n 2du

( 1)n 1

u2n 1

n 1

2n 1

= ( 1)n 1 x2n 1

1 x2

n 1

12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций...	125

Сумма последнего ряда – сумма геометрической прогрессии, для

		x			x
которой a x; q x2	. Таким образом,		S(u)du		x	. Продиф-


1				1 x2
				1 x2
		0
		x		/	S(x) (произ-
ференцируем обе части этого равенства:			S(u)du		S(x) (произ-
			0	x

водная интеграла с переменным верхним пределом интегрирования

	x			1 x	2	x 2x				1 x		2
по этому пределу).	x			1 x		x 2x				1 x					.

		x	2	(1 x			2		2	(1 x	2			2
	1	x		(1 x				)		(1 x			)

Итак,

1 3x2 5x4 ... ( 1)n 1(2n 1)x2n 2 ...

1 x2

x2 )2

Задачи для самостоятельного решения

Найти сумму ряда в № 25 – 31.

25. x

...

x4n 3

... . 26.

... ( 1)n 1

xn 1

... .

2 3

4n 3

1 2

n(n 1)

( 1)

(n 1)x

n)x

n 1

27.

28.

2n 1

n 0

n 1

x4n 3

29.

30. (2n2 2n 1)xn .

(4n 1)(4n

n 0

31. Исходя из соотношения xndx

, найти сумму ряда:

n 1

( 1)

n 1

а)

( 1)

б)

n 1

3n 2

n 1

4n 3

32. Доказать,

что

ряд

sin n2 x

сходится равномерно на

n 1

( ;

) , но что его нельзя дифференцировать ни в какой точке

этого интервала.

12.5.

РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА

И МАКЛОРЕНА

Пусть функция				y f (x) имеет в т. x0
ности производные любого порядка. Ряд
f (x )	f (x0 )	(x x		)	f (x0 )			(x x )2 ...
f (x )		(x x		)				(x x )2 ...
0	1!		0	2!					0
	1!			2!
							(n)		(x0 )
						f			(x0 )	(x x0 )n
										(x x0 )n
					n 0			n!
					n 0

и некоторой ее окрест-

f (n) (x0 ) (x x0 )n ... n!

(12.5)

126	Г л а в а 12. Функциональные ряды

называется рядом Тейлора для функции f (x). Если же для всех значений x из некоторой окрестности точки x0 ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию f (x), т.е.

		(n)	(x0 )
	f			(x x0 )n f (x) ,
		n!
n 0

то f (x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки x0 (или по степеням x x0 ). Если x0 = 0, то ряд Тейлора имеет вид

	f (0)		f (0)		f (n) (0)		f (n) (0)
f (0)		x		x2 ...		xn ...		xn
	1!		2!		n!		n!
						n 0
и называется рядом Маклорена.
Теорема 8. Для того чтобы функция						y f (x) была разложима

в ряд Тейлора в окрестности точки x0 , необходимо и достаточно,

чтобы lim Rn (x) 0 .

Rn (x) – остаточный член формулы Тейлора. Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид

R (x)	f (n 1)	( )	(x x )n 1	,	x (x x ), 0 1
R (x)			(x x )n 1	,	x (x x ), 0 1
n	(n 1)!		0		0	0
	(n 1)!

Теорема 9. Если f (x) имеет в некотором промежутке, содер-

жащем точку			x0 , производные всех порядков, для которых
	f (n) (x)	M , то	R (x) 0	при n и, значит,	f (x) разложима в
			n

этом промежутке в ряд Тейлора.

То же самое в символической записи:
x O(x0 , )				( n)	f (n) (x)	M lim Rn (x) 0

		(n)	(x0 )			n


f (x)	f			(x x0 )n .
		n!
n 0

При разложении f (x)					в ряд Тейлора применяют следующие

приемы.

1. Непосредственное разложение f (x) в ряд Тэйлора, которое состоит из трех этапов: a) формально составляют ряд Тэйлора, для чего находят f (n) (x) для любых n, вычисляют f (n) (x0 ) и подстав-

ляют найденные значения в (12.5); б) находят область сходимости ряда (12.5); в) выясняют, для каких значений x из области сходимос-

ти ряда lim Rn (x) 0 , т.е. для каких x имеет место равенство:
n
		(n)	(x0 )
f (x)	f			(x x0 )n .
		n!
n 0

12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций...	127

2. Использование готовых разложений:

1 x

...

...,

;

n 0

( 1)

2n 1

sin x

...,

;

n 0

(2n 1)!

( 1)

cos x

...,

;

n 0

(2n)!

( 1)

n 1

ln(1 x)

..., 1 x 1;

n 1

m(m

1)(m 2)...(m n 1)

(1 x)m 1

n 1

=1 mx

m(m 1)

m(m 1)(m 2)

x3 ...,

1 ;

xn 1 x x2

...,

1 x

n 0

Пример.

Разложить

y sin

в ряд Тейлора в окрестности

точки x = 2.

Решим эту задачу двумя способами.

способ. Используем непосредственное разложение функции

в ряд Тейлора:

а)

f (x) sin

;

f (x) cos

sin

;

f (x)

cos

sin

2 4

……………………………………………………

(n)

(x)

sin

……………………………………………………

Вычислим найденные производные в точке x = 2:

f (2) 1;

f (2) 0

f (2) 0;

(2)

;

(2)

, …,

(n)

(2)

(n 1)

,… .

sin

128																	Г л а в а 12.								Функциональные ряды

			Составим формально ряд Тейлора:

				2		(x 2)			2			4	(x		2)	4				n		sin					(n 1)
						(x 2)							(x		2)										2						n
1																	...												(x 2)			...
1					2!									4!			...									n!			(x 2)			...
		4			2!						4			4!					4							n!
					2		(x 2)2				4			(x 2)4							n			2n				(x 2)2n
	1																... ( 1)													... .		(12.6)
	1																... ( 1)													... .		(12.6)
					4			2!			4				4!									4				(2n)!
			б) Найдем область сходимости ряда (12.6), используя признак
Даламбера:
					2n 2
							(x 2)2n 2 (2n)!											2									1
lim			4															(x 2)			2		lim				1				0 1.

										2n
n											(x		2)	2n		4							n (2n 1)(2n 2)
			(2n 2)!								(x		2)
									4

Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, ряд (12.6) сходится на всей числовой оси: x .

в) Докажем, что при всех x ряд (12.6) сходится к sin

, для

при n :

чего достаточно показать, что Rn (x) 0

x 2

n 1

(x 2)

n 1

0 при n

Rn (x)

sin (n 1)

(n 1)!

lim

. Как результат решения задачи можем записать:

n n!

2 (x 2)2

(x 2)4

(x 2)2n

sin

... ( 1)

...

(2n)!

II способ. Разложим

f (x) sin

в ряд Тейлора в окрестности

точки x =

используя готовое разложение. Преобразуем

sin

следующим образом:

sin

((x 2) 2)

(x 2)

sin

cos

В ряд Маклорена для cos x

cos x 1

... ( 1)n

x2n

...,

(12.7)

(2n)!

справа и слева вместо x подставим (x 2)

, получим:

12.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций...	129

sin	x	cos	(x 2)	1	2	x 2 2	4	x 2 4
sin		cos		1				...
	4		4		4	2!	4	4!

							( 1)				n 2n			x 2 2n					...,				x	;							(12.8)
											n 2n			x 2 2n

											4					(2n)!
(так как в (12.7) x															(x 2)									x	).


															4
															4
	При разложении функции в ряд часто используют почленное
дифференцирование и интегрирование рядов.
	Пример. Разложить в ряд Маклорена																						y arctgx .
	Предварительно												разложим в							ряд Маклорена функцию
y	1			, для чего в разложении														1		1 x x2						... xn ...,						x	1
	1																	1

	x2																	x
1														1
1														1
заменим x на x2 .
			1					1		x2		x4 ... ( 1)n x2n ...,														x	1.
			1

					1 x2
					1 x2			x			1					x
								x
			arctg x
Поэтому													dx (1 x						2	x	4	... ( 1)						n	x	2n	...)dx
Поэтому									1 x2				dx (1 x							x		... ( 1)							x		...)dx
								0						0
								0
x		x				x						x
= dx x2dx x4dx ... ( 1)n x2ndx ...
0	0		0									0
		x3		x5				n		x2n 1
		x3		x5				n		x2n 1
= x					...		( 1)						...,			x	1
= x					...		( 1)						...,			x	1
	3		5							2n 1
	3		5							2n 1

(получившийся ряд сходится и в граничных точках).

Задачи для самостоятельного решения

Следующие функции разложить в ряд Маклорена.

33.	1			.		34.			ln(1 x).				35.			1			.		36. sh x .	37. cos 5x .

		2 x
		2 x															e	x
																	e
38.	arcsin x .					39.			(x3 2ctg x) sin x .												40. sin2 2x .	41. 2 x2 .
42.		3x2 1			.	43.		2				.	44.			1				.	45. ln(1 x x2 ).

		x2						1 3x2							5
																1 x
																1 x
			x2								4x 3
46.							.	47.						.
		3								x2 3x 2
		3	1 3x2							x2 3x 2

Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .

130	Г л а в а 12. Функциональные ряды

Указать область сходимости найденного ряда к своей сумме.

48.

51.

54.

56.

ln x; x0 1.						49.
		1	; x0		3 .	52.


	4 x
	4 x
		1		;	x0 2 .

x2		4x 3
x2		4x 3

3x ; x0 1.

							1	; x0 2 .
	x; x0 2 .			50.			1

							x
				3			x
cos2 x; x .				53.			1		; x 1.
cos2 x; x .				53.					; x 1.
		0	3			(3 x)2			0
			3			(3 x)2
55. ln			1		; x0 1.

		x2 2x
		x2 2x		2

12.6.	ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
	Если некоторое число S разложено в ряд
	S u1 u2	... un ...	(12.9)
и	S u1 u2	... un ,

то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком

un 1 un 2 ... .

Как произвести оценку погрешности?

1.Если ряд (12.9) – знакочередующийся, то остаток имеет знак своего первого члена un 1 и un 1 .

2.Если ряд (12.9) – знакоположительный, то остаток либо оценивают с помощью остаточного члена формулы Тейлора, либо

пытаются найти легко суммируемый тоже знакоположительный ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас остатка, и оценивают остаток ряда (12.9) суммой найденного ряда.

Обычно ищут десятичное приближение числа S, в то время как члены ряда могут и не быть десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь возникает новая погрешность, которую тоже нужно учесть.

Пример. Какова величина допущенной ошибки, если прибли-

женно положить	e 2	1	1	1	?
		2!	3!	4!

Ошибка будет суммой знакоположительного ряда

1	1	...	1	... .	(12.10)
5!	6!		n!

а) Оценим эту ошибку, заменив члены ряда (12.10) членами геометрической прогрессии, которые будут больше членов ряда (12.10):

n(n 1)...5

n 4

n 1

n 5

n 0

1/ 5

0, 011.

1 2 3 4 1 1/ 5

1 2 3 4 4 96

12.6. Приложения степенных рядов	131

б) Оценим эту же ошибку с помощью остаточного члена формулы Маклорена

R (x)

f (n 1) ( x)

xn 1 . В нашем случае f (x) ex ; x 1;

n 4.

(n 1)!

e x

R (x)

0, 025 .

5! 5! 1 2 3 4 5

x 1

sin x

Пример. Вычислить

dx с точностью до 0,001 (предпо-

лагаем, что

sin x

1).

x 0

sin x

...

...,

x 0.

Проинтегрируем полученное разложение на [0, 2]:

sin x

... dx

dx +

dx ... 2

... .

(12.11)

5 5!

7 7!

3 3!

9 9!

Получили знакочередующийся ряд.

Если для вычисления интегра-

ла sinx x dx взять 4 члена ряда (12.11), то ошибка 1 , которая

получается за счет отбрасывания членов ряда, начиная с пятого,

не		будет		превосходить первого из		отброшенных членов,						т.е.
			29	1	. Вычисления нужно вести с 4 знаками после запя-
					. Вычисления нужно вести с 4 знаками после запя-
1			9 9!	6000
			9 9!	6000
той,			тогда ошибка 2 , которая получается при обращении II,									III	и
IV членов ряда (12.11) в десятичные дроби, будет меньше												3	:

											10000
			3	. Общая ошибка			0, 001.	2	sin x	dx 1, 605 .
	2			. Общая ошибка		2	0, 001.			dx 1, 605 .
	2		10000		1	2			x
			10000						x
								0

Результат округлен до III знака после запятой.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y xy 0 в виде степенного ряда.

Так как x = 0 не является особой точкой для данного дифференциального уравнения, то решение его можно искать в виде ряда


y Cn xn C0	C1x C2 x2 ... Cn xn ... .	(12.12)

n 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
23.01.20191.28 Mб18Bilety_Matematichesky_Analiz_Reznikov_B_S.pdf
#
23.01.2019921.09 Кб13Bilety_po_matanu_tolko_praktika.doc
#
23.01.201911.21 Mб30dolgih.pdf