dolgih

хода к обобщенным полярным координатам по формулам (14.10),

(14.11): x a cos , y b sin , dxdy ab d d . Уравнения границы области в координатах , бу-

дут: 1) x2 / a2 y2 / b2 1 1;

2)x2 / 2a2 y2 / 2b2 1 2 ;

3)y 0 0 ; 4) y bx / a / 4 .

D

x2 / 2 y2 / 3 4 xy 6 .

14.3.ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

14.3.1. ОБЛАСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Область V R3 назовем правильной в на-

правлении Oz (правильной в направлении Ox, правильной в на-

правлении Oy), если прямая, проходящая через внутреннюю точку области V параллельно оси Oz (параллельно оси Ox, параллельно оси Oy), пересекает границу области ровно в двух точках.

Область V будет правильной в направлении Oz, если существуют функции z1(x, y) и z2 (x, y) , заданные в S и такие, что координаты точек, принадлежащих V, удовлетворяют условиям: (x, y) S, z1(x, y) z z2 (x, y) . Тогда символически записывают:

V : (x, y) S, z1(x, y) z z2 (x, y) . (14.12)

Если, в свою очередь, область S – правильная в направлении Oy

[см. (14.3)], то

V : a x b, 1(x) y 2 (x), z1(x, y) z z2 (x, y) . (14.13)

Если область S правильная в направлении Ox [см. (14.4)], то

V : c y d, 1( y) x 2 ( y), z1(x, y) z z2 (x, y) . (14.14)

Задания. 1. Записать символически правильную в направле-

нии Oy область V R3 , если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область.

2. Записать символически правильную в направлении Ox об-

ласть V R3 , если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область.

Пример 10. Область V ограничена поверхностями х2 + у2 = = (z – 2)2 и z = 0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Оz, б) в направлении Ox.

проекцией V на плоскость Oyz является область D – треугольник

и записать как правильные: а) в направлении Oz, б) в направлении Ox. 44. Область V ограничена поверхностями x 2y 3z 6,

z 0, y 0, x 0 .

45.Область V ограничена поверхностями x2 y2 (z R)2 R2 .

46.Область V ограничена поверхностями z x2 y2 , z 4 .

14.3.2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

z1(x, у) z z2 (x, y , где S – проекция V на плоскости Oxy.

Теорема 14.4. Пусть: 1) в области V : (x, y) S;

z1(x, y) z z2 (x, y) задана функция f(x, y,z), интегрируемая по Ри-

ману, т.е. существует тройной интеграл fdV ; 2) существует по-

V

Задания. Записать формулы, связывающие тройной интеграл с повторным, в случаях, когда: 1) область V правильная в направлении Ox проецируется на плоскость Oyz; 2) область V правильная в направлении Oy проецируется на плоскость Oxz.

Пример 11. Вычислить I (x 2 y 2z)dV , где область V

с образующими, параллельными Oz; z y, z 0 – плоскости. Область V – правильная в направлении Oz, а потому 0 z y для точек, принадлежащих V (рис. 14.15).

Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограни-

V :{0 x 1, x2 y x, 0 z y} . Тогда по формуле (14.15)

y

I (x 2 y 2z)dV = dxdy ( x 2 y 2 z)dz =

V S 0

z y

= dxdy(xz 2 yz z2 ) z 0 = см. (14.5) =

S

ществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области из пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Тогда существует обратное непрерывно дифферен-

Величины u, v, w можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области и в то же время как криволинейные координаты точек области V. Точки пространства Oxyz , для которых одна из координат u, v, w сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет три семейства таких поверхностей.

Теорема 14.5. Пусть x x(u, v, w) , y y(u, v, w) , z z(u, v, w)

есть дифференцируемое преобразование области из пространства Ouvw в область V из пространства Oxyz. Тогда

f (x, y, z)dxdydz

V

f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J (u, v, w) dudvdw (14.16)

З а м е ч а н и е. Последнее равенство сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями V и нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий, или на отдельных поверхностях.

ПЕРЕХОД В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ

Формулы x cos , y sin , z z преобразуют цилиндрические координаты , , z точки M в декартовы координаты этой

точки и переводят область изменения криволинейных координат

0 : 0 , 0 2 , z (или 0 : 0 ,

, z ) на все пространство Oxyz. Геометрически:

– радиус-вектор OM точки P – проекции точки M на плоскость Oxy; – угол между Ox и OP; z – аппликата точки M (рис. 14.17).

динатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус соответственно (рис. 14.18). Якобиан преобразования

При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам справедлива формула

f (x, y, z)dxdydz

V

f (r cos sin , r sin sin , r cos )r2 sin drd d , (14.18)

где – область изменения сферических координат точек области V

из Oxyz.

ного интеграла перейдем к сферическим координатам по фор-