7.16. Пошук відстані між вершинами графа.

Розглянемо деякі властивості мінімальних шляхів (маршрутів). Раніше було наведено означення довжини маршруту та відстані між вершинами звичайного графа . Аналогічно визначаються поняття довжини шляху і відстані між вершинами орієнтованого графа .

Означення 7.39. Назвемо образом вершини в орієнтованому графі множину кінців дуг, початком яких є вершина , і позначимо його , а множину початків дуг, кінцем яких є вершина , назвемо прообразом вершини і позначимо його .

Нехай − орієнтований граф із вершинами і − задані вершини з , де . Опишемо алгоритм пошуку відстані та відповідного їй мінімального шляху з у в орієнтованому графі D.

Крок 1. Позначаємо вершину індексом 0, а вершини, що належать образу вершини , індексом 1. Вважаємо .

Крок 2. Множину вершин з індексом означаємо . Якщо або виконується і , то вершина не досяжна з , і робота алгоритму на цьому завершується. В іншому випадку переходимо до кроку 3.

Крок 3. Якщо , то переходимо до кроку 4. В іншому випадку існує шлях з у довжини , причому цей шлях є мінімальним. Послідовність вершин ,

де ; ; ……………………… .

(7.2)

і є шуканий мінімальний шляхом з у . На цьому робота алгоритму закінчується.

Крок 4. Позначаємо індексом всі непозначені вершини, що належать образу множини вершин з індексом . Множину вершин з індексом позначаємо . Нехай і переходимо до кроку 2.

Вершини із (7.2), взагалі кажучи, можуть бути вилучені неоднозначно. Ця неоднозначність відповідає випадкам, коли існує декілька різних мінімальних шляхів з у в орграфі .

Приклад 7.20. Використовуючи алгоритм, визначити мінімальний шлях із у в орграфі , заданому на рис.7.21. і матрицею суміжності у вигляді таблиці 7.5.

Діючи згідно з алгоритмом, послідовно знаходимо

Таким чином, , а отже, існує шлях із у завдовжки 3, і цей шлях є мінімальним.

		Таблиця 7.5.
			0	0	1	1	0	0	0
			1	0	0	1	1	1	1
			0	0	0	1	1	1	0
			0	0	0	0	1	1	0
			1	1	1	0	0	1	0
			0	0	1	0	0	0	1
Рис.7.21			1	0	1	0	1	0	0

Визначимо цей мінімальний шлях із в .

,

.

Це означає, що існує 2 шляхи завдовжки 3 з вершини в , а саме і .