Контрольні запитання

1. Надати означення графа.

2. Що таке ребро, дуга, порядок графа?

3. Навести способи надання графів.

4. Який граф називається неорієнтованим?

5. Який граф називається орієнтованим?

6. Що таке петля?

7. Який граф називається звичайним?

8. Який граф називається мультиграфом?

9. Який граф називається псевдографом?

10. Надайте означення частини графа.

11. Надайте означення орграфа.

12. Надайте означення підграфа.

13. Що таке маршрут, ланцюг й цикл графа?

14. Як формулюються еквівалентні означення дерева графа?

15. Що таке Цикломатичне число графа?

16. Що таке ейлерів граф?

17. Що таке гамільтонів граф?

18. Що таке планарний граф?

19. Що таке компонента зв’язаності?

20. Як формулюється задача пошуку маршруту в графі?

21. Як формулюється задача пошуку маршруту з мінімальною кількістю ребер?

22. Як формулюється задача пошуку мінімального шляху у зваженому графі?

23. Що таке кістякове дерево графа?

Задачі й вправи

1. Показати, що в будь-якому графі кількість вершин непарних степенів − парна.

2. Показати, що з усякого замкненого маршруту можна вилучити простий ланцюг.

3. Показати, що ребро, яке входить у цикл, не є висячою.

4. Показати, що будь-яка вершина, яка входить у цикл, не є висячою.

5. Довести, що у зв’язному графі, який містить принаймні дві вершини, знайдеться вершина, яка не є точкою зчленування.

6. Довести, що якщо в орієнтованому графі відсутні вершини з нульовим степенем виходу (входу), то в існує простий цикл.

7. Довести, що вилучення з орієнтованого графа вершини із (або ) приводить до орієнтованого графа, цикли якого збігаються із циклами початкового орієнтованого графа.

8. Визначити, чи мають цикли орієнтовані графи з матрицями суміжності:

а) ;б) ; в) ; г) ; д) .

9. Визначити матриці зв’язаності та сильної зв’язності для орієнтованих графів із матрицями суміжності з попередньої задачі.

10. Нехай орієнтований граф задано матрицею суміжності. Визначити матрицю сильної зв’язності . Використовуючи алгоритм 7.1, знайти кількість компонент сильної зв’язності орієнтованого графа і визначити матриці їх суміжності. Побудувати зображення орієнтованого графа і його компоненту сильної зв’язності. Розглянути випадки:

а) ; б) ; в) .

11. Використовуючи алгоритм Террі, визначити замкнений маршрут у графі, зображеному на рис.7.20, який проходить рівно два рази (по одному разу в кожному напрямі) через кожне ребро графа.

12. Довести, що в сильно зв’язному орієнтованому графі із симетричною матрицею суміжності існує цикл, який проходить по одному разу через кожну дугу орієнтованого графа.

13. Знайти мінімальний шлях із у в орієнтованих графах, заданих матрицями суміжності:

а) ; б) ; в) .

14. Визначити мінімальний шлях з у в зважених орієнтовних графах із заданими матрицями ваг:

а) ; б) ; в) .

15. Визначити шлях із у мінімальної ваги в кожному зваженому орієнтованому графі (див. попередню задачу) серед шляхів із у , які містять не більше як за k дуг, де: а) k=2; б) k=3; в) k=4.