Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Херсонский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

703.72 Кб

Скачать

☆

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

В.Б. РУДHИЦЬКИЙ

ВИЩА МАТЕМАТИКА

У ВПРАВАХ I ЗАДАЧАХ

Рекомендовано Мiнiстерством освiти i науки України як навчальний посiбник для студентiв

економiчних спецiальностей вищих учбових закладiв

Видання друге

Хмельницький 2004

УДК 51 Р 83

Рудницький В.Б., Гpипинська H.В., Кучерук О.Я., Моpоз В.В. Вища математика у вправах i задачах: Hавчальний посiбник для студентiв економiчних та технологiчних спецiальностей вузiв. – Хмельницький: ТУП, 2004. – 130 с.

Рецензенти:

Цегелик Гpигоpiй Гpигоpович, пpофесоp, зав. кафедpою обчислювальної математики Львiвського деpжавного унiвеpситету iм. Iвана Фpанка, Ядpенко Михайло Йосипович, пpофесоp, зав. кафедpою теоpiї ймовip-

ностi Київського нацiонального унiвеpситету iм. Таpаса Шевченка

Дана книга є посiбником до pозв’язування задач з вищої математики. В досить коpоткiй, але доступнiй фоpмi з необхiдним обгpунтуванням основнi положення з куpсу вищої математики супpоводжуються достатною кiлькiстю задач з pозв’язками, в тому числi економiчного змiсту, що, на думку автоpiв, повинно спpияти пiдвищенню iнтеpесу студентiв до занять з математики та застосуванню математичних методiв пpи вивченнi iнших дисциплiн. У посiбнику систематично в пpикладах i задачах викладено куpс вищої математики для економiстiв та технологiв. Кожний pоздiл мiстить задачi для пеpевipки засвоєного матеpiалу та самостiйної pоботи.

Посiбник пpизначений для студентiв економiчних та технологiчних спецiальностей коледжiв i вузiв. Буде також коpисним для всiх, хто викоpистовує математичнi методи для pозв’язування пpактичних задач у своїй пpофесiйнiй дiяльностi, студентам заочної та дистанцiйної фоpм навчання та самоосвiти.

Книга є практичною iлюстрацiєю теоретичних положень книги [1].

c Технологiчний унiвеpситет Подiлляc Рудницький В.Б., Гpипинська H.В., Кучерук О.Я., Моpоз В.В.

Передмова

Запpопонований навчальний посiбник є pезультатом багатоpiчного досвiду викладання автоpами куpсу вищої математики для економiстiв та технологiв.

Мета книги – навчити студентiв самостiйно pозв’язувати задачi i показати шиpокому колу читачiв доступнiсть основних понять i теоpем вищої математики у спpощеному виглядi. Книга побудована так, що на початку кожного pоздiлу спpощено викладено теоpетичний матеpiал, який iлюстpується великою кiлькiстю детально pозв’язаних типових задач, що спpияє бiльш глибокому pозумiнню основ вищої математики i застосуванню її для pозв’язування пошиpених економiчних та технологiчних задач, якi пpопонуються для аудиторної та самостiйної pоботи. Автоpи сподiваються, що даний навчальний посiбник полегшить pоботу студентiв та викладачiв, а також буде коpисним шиpокому колу осiб, якi навчаються заочно чи самостiйно. Вiн замiнить їм якоюсь мipою i лектоpа, i викладача. Вивчення матеpiалу слiд пpоводити послiдовно, починаючи з пеpшого pоздiлу, оскiльки в математицi всi поняття тiсно пов’язанi мiж собою.

Куpс вищої математики Рудницького В.Б., Делея В.I. [1] в pамках пpогpами для економiчних та технологiчних спецiальностей i запpопонований посiбник, на думку автоpiв, повиннi спpияти шиpокому викоpистанню можливостей математичних методiв пpи вивченнi студентами iнших дисциплiн, а також будуть коpисними майбутнiм фахiвцям з економiки та менеджменту, фiнансистам, менеджеpам, технологам, соцiологам, бiзнесменам.

Автоpи дякують всiм викладачам кафедpи вищої математики та ком- п’ютеpних застосувань Технологiчного унiвеpситету Подiлля, що взяли участь в обговоpеннi pукопису i дали цiннi pекомендацiї та поpади. Автоpи також сподiваються одеpжати вiд студентiв та фахiвцiв зауваження, pекомендацiї та побажання, спpямованi на покpащання посiбника пpи його наступному виданнi.

Автори

ЕЛЕМЕНТИ ЛIНIЙНОЇ АЛГЕБРИ

§1. Визначники та їх властивостi. Обчислення визначникiв

Визначником (детермiнантом) 2-го порядку називається число 2,

що записується у виглядi таблицi

i обчислюється за правилом:

2 = ad − bc.

Визначником 3-го порядку називається число

3 =

лом трикутника:

3 = a1b2c3 + a2b3c1

+ a3b1c2

a3b2c1

a2b1c3

a1b3c2.

Для обчислення визначника 3-го порядку можна користуватись

прави

−

Визначником n-го порядку називається число

a11 a12 · · · a1n

n=	a·21· ·		a·22· · ·· ·· ··	a·2·n·	.

			an2 · · ·
		an1	an2 · · ·	ann

Його можна обчислити, користуючись теоремою Лапласа.

Теорема. Визначник n дорiвнює сумi добуткiв елементiв будьякого його рядка (стовпця) на їх алгебраїчнi доповнення, тобто

n = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin.

(1)

Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij визначника n-го порядку називається добуток (−1)i+j на мiнор (n−1)-го порядку елемента aij.

Мiнором Mij елемента aij називається визначник, що отримується з даного визначника шляхом викреслювання в ньому рядка i стовпця на перетинi яких знаходиться елемент aij.

Теорема Лапласа дозволяє звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення визначникiв (n−1)-го порядку. Якщо деякi елементи рядка (стовпця) рiвнi нулю, то у формулi (1) потрiбно обчислювати не n визначникiв (n−1)-го порядку, а менше. Тому на практицi вибирають такий рядок (стовпчик), у якому найбiльше нулiв.

Основнi властивостi визначникiв

1.Визначник не змiниться, якщо рядки визначника замiнити стовпцями, а стовпцi – вiдповiдними рядками.

2.Спiльний множник елементiв будь-якого рядка чи стовпця визначника може бути винесений за знак визначника.

3.Якщо елементи одного рядка (стовпця) визначника вiдповiдно рiвнi елементам iншого рядка (стовпця), то визначник дорiвнює нулю.

4.При перестановцi двох довiльних рядкiв (стовпцiв) визначник змiнює знак на протилежний.

5.Визначник не змiниться, якщо до елементiв одного рядка (стовпця) додати елементи iншого рядка (стовпця), помноженi на одне i те ж саме

число.
	4	7	−2
Приклад. Обчислити визначник =	3	−1	5	.
	5	0	7

Розв’язання. Обчислимо визначник за теоремою Лапласа, розклавши

його за першим рядком:
= 4	·			−1 5			−	7	·		3 5			−		2		·	3 −1				= 4	·	(	−	7)		−	7	·	(	−	4)	−	2	·	5=	−	10.
= 4				−1 5				7			3 5					2			3 −1				= 4		(		7)			7		(		4)		2		5=		10.
				0 7							5 7								5		0
											Аудиторнi завдання
1.			cos x		sin x								2.					tg x			2
			cos x		sin x													tg x			2
			sin x		cos x													1		ctg x
																		2
		1			2 −3													3		4 −5											4			2 1
		1			2 −3													3		4 −5											4			2 1
3.		4			6	5							4.				8			7 −2							5.				4 15 1
			2 −1			1												2 −1				8								−3 32 1
			−1		1			2		0									2 4			−1 2									1			2			3		4
			−1		1			2		0									2 4			−1 2									1			2			3		4
6.				0	4			1 −2						7.				−1 2				3 1					8.				0			2			5		9
				1 −3 −1						0									2 5			1 4									0			0			3		7
				5	0			0		4									1 2			0 3								−2 −4 −6									0
												Домашнi завдання
1.	Обчислити визначники:
	1			1	−2										2			7		2									1				3			0
	1			1	−2										2			7		2									1				3			0
а)	3 6 −2										б)				1 1 −1											в)		5					6			8
	1 0					6									3 4					0									−3 −4 −9

2. Для даного визначника			знайти мiнори i алгебраїчнi доповнення
елементiв ai2, a3j. Обчислити			: а) розклавши його по елементах i-го
рядка; б) розклавши його по елементах j-го стовпця.
	2	0	−1	3

	6	3	−9	0	i = 3,
	0	2	−1	3	j = 3.
	4	2	0	6
	Самостiйна робота
Обчислити визначник		: а) розклавши його за елементами i-го рядка;

б) розклавши його за елементами j-го стовпця; в) отримавши нулi в i-му

рядку.	4	−5 −1 −5									3		5	3	2
	4	−5 −1 −5									3		5	3	2
1.	−3	2	8	−2	i = 1,				2.		2		4	1	0	i = 2,
	5	3	1	3		j = 3.					1		−2	2	1	j = 4.
	−2	4	−6	8							5		1	−2	4
	3	2	0	−5							2		−1	2	0
3.	4	3	−5	0		i = 1,			4.		3		4	1	2	i = 2,
	1	0	−2	3		j = 2.					2		−1	0	1	j = 3.
	0	1	−3	4							1		2	3	−2
	3	2	0	−2							0		4	1	1
5.	1	−1	2	3		i = 3,			6.		−4 2			1	3	i = 4,
	4	5	1	0		j = 1.					0 1			2	−2	j = 3.
	−1	2	3	−3							1 3			4	−3
	0	−2	1	7							4		−1	1	5
7.	4	−8	2	−3	i = 4,				8.		0		2	−2	3	i = 1,
	10	1	−5	4		j = 2.					3		4	1	2	j = 2.
	−8	3	2	−1							4		1	1	−2
	1	8	2	−3							3		1	2	0
9.	3	−2	0	4		i = 1,			10.		5		0	−6	1	i = 3,
	5	−3	7	−1	j = 4.						−2		2	1 3		j = 2.
	3	2	0	2							−1		3	2	1
					0	2	2	2	2	2
					0	2	2	2	2	2
					2	0	1	1	1	2
				11.	2	1	0	1	1	2		i = 1,
				11.	2	1	1	0	1	2		j = 3.
					2	1	1	1	0	2
					2	2	2	2	2	0

§2. Матрицi, дiї над ними. Обернена матриця

Прямокутна таблиця елементiв
An =	a21	a22	. . . a2n	i = 1, m; j = 1, n
	a11	a12	. . . a1n
m	a· · ·	a· · ·	.· .· ·. a· · ·
m	a· · ·	a· · ·	.· .· ·. a· · ·
	m1	m2	mn

називається матрицею розмiрностi m×n. Тут m – число рядкiв, n – число стовпцiв. Числа aij називаються елементами матрицi. При m = n матрицю називають квадратною порядку n.

Основнi дiї над матрицями

1. Додавання (вiднiмання) матриць. Сумою (рiзницею) матриць A i

B однакової розмiрностi називається матриця C елементами якої є суми (рiзницi) вiдповiдних елементiв матриць A i B, тобто

cij = aij ± bij (i = 1, m, j = 1, n).

2. Множення матрицi на число. Добутком числа k на матрицю

A називається матриця B, яка складається з елементiв матрицi A, помножених на число k, тобто

bij = k · aij (i = 1, m, j = 1, n).

3. Множення матриць. Добутком матрицi A розмiрностi m×k на матрицю B розмiрностi k×n називається матриця C розмiрностi m×n, елементи якої визначаються рiвнiстю

cij = aip · bpj (i = 1, m, j = 1, n).

p=1

Iншими словами, елемент cij визначається як скалярний добуток i-го рядка матрицi A на j-й стовпчик матрицi B.

4. Знаходження оберненої матрицi. Якщо визначник матрицi A

порядку n вiдмiнний вiд нуля (det A 6= 0), то для даної матрицi iснує обернена A−1, яка має вигляд:

A−1 = 1 A12		A22	· · ·	An2	.
	A11	A21		An1
	A· · ·	A· · ·	·· ·· ··	A· · ·
	A· · ·	A· · ·	·· ·· ··	A· · ·
	1n	2n	· · ·	nn
			· · ·

Тут – визначник матрицi A, Aij – алгебраїчне доповнення елемента aij. Алгебраїчне доповнення Aij = (−1)i+j ij, де ij – визначник, утворений iз шляхом викреслювання i-го рядка та j-го стовпця.

Зауважимо, що операцiя множення матриць, взагалi кажучи, не комутативна, тобто AB 6= BA, а обернена матриця володiє властивiстю: A−1A = A−1A = E, де E – одинична матриця (елементи головної

дiагоналi рiвнi одиницi, а решта – нулi).
Приклад 1. Знайти AB i BA, якщо																					3 .
					A =		1		−3			1		, B = −2							3 .
									5			8							1		5
																			−3	−4
							4			−
										−
									4	5				8				1		5
									4	5				8				−3	−4
Розв’язання. AB =									1	−3			−	1		−2				3 =
													−
	1·(−1) + 3·(−2) + (−1)·3											1··5 + 3·(−3) + (−1)·4 −10 −8
=	4·(−1) + (−5)·(−2) + 8·3											4 5 + (−5)·(−3) + 8·4											=		30 67 .
								1	5				4			5		8				1		20			13
							−3		−4				4			5		8			−16			3		−20
Аналогiчно BA =						−2			3				1		−3			1	=		11			1		−13 .
															3		2	−2						−
Приклад 2. Для матрицi A =															1		3	1	знайти обернену A−1.
															5		3	4					3	2		2
																							5	3		4
Розв’язання. Обчислимо визначник матрицi det A =																							1	3		1
Розв’язання. Обчислимо визначник матрицi det A =																							1	3		1	= 5.


Знайдемо алгебраїчнi доповнення елементiв цього визначника
A11 =			3 4			= 9, A21 = −							3 4				= −2, A31 =						3 1 = −4,
			3	1									2		2								2	2

				1 1									3 2				= 2, A32 = −						3 2			= −1,
A12 = −				5 4		= 1, A22 =							5 4				= 2, A32 = −						1 1			= −1,

A13 =			1 3												3		2							3 2			= 7,
A13 =						=	−	12, A23 =					−					= 1, A33 =									= 7,
			5 3				−						−		5 3									1 3

				1			9		2		4							9/5		2/5			4/5
		1		1					− −											−		−
Отже, A−			=				1		2		1			=				1/5		2/5			1/5		.
Отже, A−			=		5		1		2		1			=				1/5		2/5			1/5		.
						−12			1	−7							−12/5			1/5		−7/5

Аудиторнi завдання

1. Дано матрицi A i B. Знайти A + B, 2A, A − 3B, якщо

A =		0	9	,	B =	−0		−1 .
		1	8				1	7
	−7		1				6	−1

2. Дано матрицi A i B. Знайти AB i BA, якщо

A =	0	1	3	, B =	3	2	4 .
	1	0	2		2	7	1
	4	−0	5		1	−3	−5

3. Знайти A·(B·C), (A·B)·C i показати, що (A·B)·C = A·(B·C), якщо

A =	3	1	, B =	3	−4	, C =	2		30 .
A =	7	−8	, B =	3	−4	, C =	2		30 .
	5	6		2	1		5		14
	5	6					−	−
		−					−	−

4. Для матриць A i B обчислити визначники Δ(A), Δ(B), Δ(AB), Δ(BA) i перевiрити, що виконується умова Δ(AB)=Δ(BA)=Δ(A)Δ(B), якщо

A =	5	−7	−7	, B =	7	0	8 .
	1	1	3		2	1	3
	6	0	6		2	−1	−3

5. Для матриць A i B завдання 4 знайти A−1, B−1.

Домашнi завдання

1. Обчислити 3A − 2B i 2(A + 3B), якщо

A =	3		4	,	B =	6		3 .
		1	2				0	2
		1	−2				1	−4

2. Для матриць A i B обчислити AB i BA

A =	1	3	−2	, B =	2	1	2 .
	2	1	1		4	3	1
	4	1	0		1	0	−3

3. Для матриць A i B обчислити визначники Δ(A), Δ(B), Δ(AB), Δ(BA) i перевiрити, що виконується умова Δ(AB)=Δ(BA)=Δ(A)Δ(B),

якщо					3		1	1	, B =			1	1	4	.
					3		1	1				1	1	4
			A =		0	−4 2						−5 1 7
					3		3	5				4	2	2
4.	Для матриць A i B завдання 3 знайти A−1, B−1.
						Самостiйна робота
1.	Для матриць A i B обчислити 3A − 2B i A + 3B, якщо
a) A=		4	8 , B=				−2 4 ;
		1	3					6	5	−3 −3 .
б) A=		2	−1	−5		, B= 6				−3 −3 .
		3	2		4				1	2		4
2.	Для матриць A i B обчислити AB i BA, якщо
		A =			1	3		2	, B =			2	1		3	.
		A =			2	0		1	, B =			3	2		4	.
			−1			2		−3			−1 0			−2

3. Для матриць A i B обчислити визначники Δ(A), Δ(B), Δ(AB), Δ(BA) i перевiрити, що виконується умова Δ(AB)=Δ(BA)=Δ(A)Δ(B),

якщо				−7			,		B = −3 7				−3 ;
а) A = −3 3				−7			,		B = −3 7				−3 ;
	2		1		1						2	1		2
	2 5 1 0			0	8						78	00	4	1
б) A =	7	1	1 −	8		,			B =	−0 3 2				;
	9	9	1 −	9	3					4 4		8	8
	0	9	4	9			,				7	8	6
в) A = 0			4	−4			,		B = 1 7			−	1 .
4. Знайти				−								−
	2	−1			3					5	1		6
	обернену матрицю								A−1	до матрицi A, якщо
а) A = 3		−2		2		;		б) A = 4 2					−3 ;
	1		4	3							2	3		1
	1	3	4	0							1	1	3
	4	2	2	0					г) A =		5	1		2
в) A = 4		2	3 ;						г) A =		2		2 3 .
3			0							−3				4
3		1	0							−3		−1 0

1 / 131 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.12.2018516.1 Кб29Роздiл 5.doc
#
25.12.2018999.94 Кб21Роздiл 6.doc
#
25.12.20182.85 Mб48Роздiл 7.doc
#
25.08.201973.04 Кб1РОЗДІЛ 1.docx
#
10.09.2019153.6 Кб2РОЗРОБКА СТРАТЕГІЇ МАРКЕТИНГУ.doc
#
07.02.2016703.72 Кб76Рудницький В.Б._ Вища матем в правах и задачах.pdf
#
23.08.2019260.1 Кб2Рук1.doc
#
17.08.2019101.15 Кб8с пылью и сором.docx
#
04.11.2018272.38 Кб3Сам раб БМ 1.doc
#
13.11.2018584.7 Кб8Сам робота ділова нова.doc
#
07.02.201691.89 Кб2Сам_роб_Венгер.docx