7.7. Графи і бінарні відношення.

Між орієнтованими графами без кратних ребер з множиною вершин і бінарними відношеннями на множині існує взаємно однозначна відповідність: відношенню відповідає орієнтований граф , в якому ребро існує тоді і тільки тоді, коли виконано співвідношення . Аналогічна взаємно однозначна відповідність є між симетричними бінарними відношеннями і неорієнтованими графами (див. розд. „Відношення”).

Розглянемо відповідність між операціями над відношеннями й операціями над графами. Кожне відношення має заперечення , істинне тоді й тільки тоді, коли – хибне. Наприклад, для відношення рівності запереченням є відношення нерівності .

Означення 7.15. Граф є доповненням графа відносно повного орієнтованого графа з множиною вершин , на якій задано бінарне відношення , що розглядається, і множиною дуг .

Граф , де – відношення, обернене до , різниться від графа тим, що напрямки всіх дуг замінено на зворотні.

Відношення містить відношення , якщо вони визначені на одній і тій самій множині та з виходить . У цьому випадку кажуть також, що відношення виходить з відношення , і пишуть . Відповідні графи і мають одну й ту саму множину вершин , а множина ребер першого є підмножиною множини ребер другого. Таким чином, є суграфом графа , тобто .

Для будь-яких бінарних відношень й , заданих на одній і тій самій множині , ми визначили суму (об’єднання) і переріз :

;

.

Відповідні графи також є сумою й перерізом:

;

.

Деякі типи графів добре описуються на мові бінарних відношень. Наприклад, нуль-граф , що не має ребер, відповідає нульовому відношенню , яке не містить жодної пари ; повному орієнтованому графу відповідає універсальне (повне) відношення , завжди істинне (згадаємо п. 3.1.1. розділу „Відношення”).

Якщо – рефлексивно, то має петлі у всіх вершинах; якщо – антирефлексивне, то не має петель. Якщо – транзитивне, то в графі для кожної пари ребер і існує замикаюче ребро .

7.8. Маршрути, шляхи, ланцюги та цикли.

Означення 7.16. Нехай – неорієнтований граф. Маршрутом у графі , що з’єднує вершину з вершиною , називається така послідовність вершин і ребер, які чергуються,

, (7.1)

що починається у вершині і закінчується в вершині , і така, що кожні два сусідні ребра і мають спільну інциденту вершину .

Іншими словами, маршрутом, що з’єднує вершину з вершиною , в неорієнтованому графі називається послідовність вершин і інцидентних їм ребер, яка починається в вершині і закінчується в вершині .

Очевидно, що маршрут можна задавати послідовністю його вершин (в звичайному графі), а також послідовністю ребер (для будь якого графа), що й робитимемо далі. Одне і те саме ребро може зустрічатися в маршруті кілька разів. Вершина називається початком маршруту, – кінець маршруту.

Означення 7.17. Вершини, інцидентні ребрам маршруту, крім початкової і кінцевої, називаються внутрішніми або проміжними.

Оскільки різні ребра маршруту можуть бути інцидентними одній і тій самій вершині, початок або кінець маршруту може одночасно виявитися і внутрішньою вершиною (див. маршрут на рис.7.12).

Нехай маршрут має початок і кінець .

Означення 7.18. Число ребер маршруту називається його довжиною. Якщо , то маршрут називають замкненим.

Означення 7.19. Маршрут називається ланцюгом, якщо кожне ребро зустрічається в ньому не більше ніж один раз, і простим ланцюгом, якщо будь-яка вершина (крім, можливо, початкової) зустрічається в ньому не більше, як один раз. Якщо ланцюг є замкненим, то його називають циклом, а якщо простий ланцюг – замкнений, то це – простий цикл.

Приклад 7.8. Стосовно наведеного на рис.7.12 графа можна сказати, що маршрут є замкненим ланцюгом, тобто циклом, але не є простим циклом, тому вершина зустрічається в ньому тричі. Простим циклом є цикл , причому послідовності , , і зображують один і той самий цикл. Часто вважається, що можна міняти порядок ребер циклу на зворотний, тобто, наприклад, послідовність зображує той же цикл (рис.7.12).

Визначення маршруту легко перенести з графа на орієнтований граф. Маршрут в останньому називатимемо шляхом. Відповідно можна перенести також визначення ланцюга, простого ланцюга та циклу. Простий цикл в орієнтованому графі ще називається контуром.

Рис.7.12

Твердження 7.1. -й ступінь матриці суміжності графа визначає наявність шляхів завдовжки : елемент матриці дорівнює кількості шляхів довжини , які мають початок у вершині і кінець у вершині (це справджується і для , в цьому випадку шлях є циклом).

Приклад 7.9. Розглянемо граф , наведений на рис.7.13.

Рис.7.13

Побудуємо матрицю суміжності графа і знайдемо матрицю, яка є її другим степенем, по якій визначимо шляхи завдовжки 2:

	0	1	0	0	0			0	1	0	0	0			0	0	1	0	0
	0	0	1	0	0			0	0	1	0	0	=		1	0	0	1	0
	1	0	0	1	0			1	0	0	1	0			1	1	0	0	0
	1	0	0	0	0			1	0	0	0	0			0	1	0	0	0
	1	0	1	0	0			1	0	1	0	0			1	1	0	1	0

Це, наприклад, шляхи з у , з у , з у і т.д. На головній діагоналі цієї матриці жодної одиниці. Це свідчить про те, що в графі немає жодного циклу завдовжки 2.

Знайдемо третій ступінь матриці суміжності графа , і за якою визначимо шляхи завдовжки 3.

	0	0	1	0	0			0	1	0	0	0			1	0	0	1	0
	1	0	0	1	0			0	0	1	0	0	=		1	1	0	0	0
	1	1	0	0	0			1	0	0	1	0			0	1	1	0	0
	0	1	0	0	0			1	0	0	0	0			0	0	1	0	0
	1	1	0	1	0			1	0	1	0	0			1	1	1	0	0

Прикладами шляхів завдовжки 3 є шляхи з у , з у , з у (через ), з у (через ) і т.д. У матриці є одиниці на головній діагоналі. Ще елементи , тобто є цикл завдовжки 3, який містить вершини .

Знайдемо четвертий ступінь матриці суміжності графа , і визначимо шляхи завдовжки 4.

	1	0	0	1	0			0	1	0	0	0			1	1	0	0	0
	1	1	0	0	0			0	0	1	0	0	=		0	1	1	0	0
	0	1	1	0	0			1	0	0	1	0			1	0	1	1	0
	0	0	1	0	0			1	0	0	0	0			1	0	0	1	0
	1	1	1	0	0			1	0	1	0	0			1	1	1	1	0

Це шляхи, наприклад, з у (), з у () і т.д. Наявність одиниць на головній діагоналі свідчить про те, що є цикл завдовжки 4. Цей цикл містить вершини .

7.9. Зв’язність

Означення 7.19. Дві вершини v і w називаються зв’язаними, якщо існує маршрут вигляду (7.1) з кінцями v та w. Граф називається зв'язним, якщо будь-яка пара його вершин є зв’язаною. Якщо граф не є зв'язним, то він називається незв'язним.

Означення 7.20. Зв’язністю графа називається мінімальна кількість вершин, вилучення яких приводить до утворення незв'язного графа.

Означення 7.21. Кількість вершин у максимальному повному підграфі графа G називається щільністю графа G. Кількість вершин у максимальному порожньому підграфі графа G називається нещільністю графа G.

Приклад 7.10. Граф, наведений на рис.7.12, є зв’язаним, тому що будь-яка пара його вершин зв’язана. Але яка його зв’язність? Тобто, якою є мінімальна кількість вершин його графа, влучення яких приводить до утворення незв’язного графа? Очевидно, що зв’язність дорівнює одиниці, тому що вилучення однієї вершини приводить до утворення незв’язного графу, наведеного на рис.7.14 а).

а)
б)	в)		г)
Рис.7.14

Визначимо щільність того ж самого графа. Для цього треба визначити максимальний повний підграф графа (рис.7.12). В графі 7 вершин, але сам граф не повний, у нього немає повних підграфів на 6, 5 і 4 вершинах, але є декілька під графів на трьох вершинах (див. рис.7.14 б, в, г). Отже, щільність графа дорівнює 3.

Визначимо нещільність того ж самого графа з рис.7.12. Для цього треба визначити максимальний порожній підграф. Кожний підграф на одній вершині є порожнім. Є порожні підграфи на двох вершинах, наприклад , , , , , , , , , , . Є порожні підграфи на трьох вершинах: , , , , . І є порожній підграф на чотирьох вершинах . Це максимальний порожній підграф. Тому нещільність графу з рис.7.12 дорівнює чотирьом.

Означення 7.22. Довжина найменшого ланцюга між вершинами і звичайного графа називається відстанню між цими вершинами.

Вона задовольняє аксіоми метрики:

;

;

;

.

Означення 7.23. Діаметром графа G називається величина .

Іншими словами, діаметром графа називається максимальна відстань між двома вершинами графа .

Приклад 7.11. Визначимо відстані між деякими вершинами графа (рис.7.12) , це ребро , але є більші прості ланцюги, що зв’язують та , це ланцюги і . , , , , . В звичайному графі (рис.7.12) 7 вершин, тому всього існує пар вершин, для яких слід визначити відстані. Ми визначили декілька, але очевидно, що відстані більш за 3 в цьому графі немає. Тому діаметр .

Означення 7.24. Центром графа називається вершина графа , для якої максимальна з відстаней до інших вершин є мінімальною. Радіусом графа називається максимальна відстань від центра графа до його вершин.

Приклад 7.12. Для графа з рис.7.12 визначимо центр і радіус . Для цього визначимо відстані , , , , , . Максимальна відстань від до інших вершин дорівнює 2 (і є відстанню від до ).

, , , , , .

Максимальна відстань від до інших вершин дорівнює 3.

, , , , , .

Максимальна відстань від до інших вершин дорівнює 3.

, , , , , .

Максимальна відстань від до інших вершин дорівнює 3.

, , , , , .

Максимальна відстань від до інших вершин дорівнює 2.

, , , , , .

Максимальна відстань від до інших вершин дорівнює 2.

, , , , , .

Максимальна відстань від до інших вершин дорівнює 3.

Таким чином мінімальною із максимальних з вершин є відстань 2, і на звання радіусу претендують 3 вершини , і .

Тому радіус дорівнює максимальної відстані від цих вершин до інших вершин, а це

Означення 7.25. Дводольний граф – це граф, множину вершин якого можна розбити на дві підмножини і (, ) таким чином, що кожне ребро графа з'єднує вершини з різних підмножин.

Означення 7.26. Орієнтований граф називається сильнозв'язним, якщо для будь-яких двох його вершин і існує шлях в обох напрямках.

Означення 7.27. Орієнтований граф називається однобічно зв'язним, якщо для будь-яких двох його вершин та існує шлях хоча би в одному напрямку.

Означення 7.28. Компонентою зв’язності графа G називається його зв'язний підграф, який не є підграфом жодного іншого зв'язного підграфа графа G.

Приклад 7.13. На рис.7.15 зображено граф із чотирма компонентами зв’язності.

Рис.7.15.

На рис.7.16 наведений орієнтований граф, що має три компоненти зв’язності.

Рис.7.16.

Виходячи з означення зв’язності двох вершин, можна говорити про бінарне відношення зв’язності (позначимо його ), задане на множині .

Твердження 7.1. Якщо припустити, що вершина зв’язана сама з собою, тобто існує маршрут із у , то бінарне відношення зв’язності має наступні властивості:

1. рефлексивність, тобто ;

2. симетричність, тобто іншими словами, якщо існує маршрут із вершини у вершину , то існує маршрут і в зворотному напрямку, тобто з вершини у вершину ;

3. транзитивність, тобто , іншими словами, якщо існує маршрут із вершини у вершину , а з вершини у вершину , то існує маршрут із вершини у вершину .

Таким чином відношення зв’язності є відношенням еквівалентності, яке визначене на множині .

Очевидно, що:

1. тоді й тільки тоді, коли вершини і належать одній компоненті зв’язності графа ;

2. для будь-якого класу еквівалентності граф , породжений множиною , є компонентою зв’язності графа .

Під операцією вилучення вершини з графа розумітимемо операцію вилучення деякої вершини разом із ребрами, які інцидентні їй.

Означення 7.29. Вершина графа, вилучення якої збільшує кількість компонент зв’язності, називається відокремлювальною.

Приклад 7.14. Для графа, зображеного на рис.7.17, точками зчленування будуть вершини .

Рис.7.12