7.5. Ізоморфізм графів.
Отже, граф може бути представлений різними способами. Він може бути зображений на кресленні (рисунку), заданий матрицею інцидентності або матрицею суміжності. Вигляд креслення залежить від форми ліній і взаємного розташування вершин. Іноді не так легко зрозуміти, чи однакові графи, зображені різними кресленнями, як, наприклад, на рис.7.6. Вигляд матриць суміжності та інцидентності залежить від нумерації вершин і ребер графа. Строго кажучи, граф вважається повністю заданим, якщо нумерація його вершин зафіксовано.
Означення
7.11. Нехай
існує бієкція
,
яка діє з множини вершин графа
на множину вершин графа
так, що для будь-яких вершин
та
графа
їхні образи
і
є суміжними в
тоді й тільки тоді, коли
та
– суміжні в
.
Така бієкція називається ізоморфізмом
графа
на граф
,
а графи
і
називаються ізоморфними.
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
|
Рис.7.6 |
||
Іншими словами, графи, що мають однакову кількість вершин і ребер, є ізоморфними, якщо вони відрізняються тільки позначенням та нумерацією вершин і ребер. Таким чином, графи, зображені на рис.7.6, ізоморфні. Можна сказати, що це різні зображення одного графа на чотирьох вершинах.
Щоб дізнатися, чи зображують дві матриці суміжності ізоморфні графи, можна, наприклад, здійснити всілякі перестановки рядків та стовпців першої матриці. Якщо після однієї з цих перестановок виникне матриця, тотожно співпадаюча з другою, графи, які зображаються цими матрицями суміжності, будуть ізоморфними. Проте, щоб пересвідчитися таким способом у тому, що графи не є ізоморфними, доведеться виконати всі n! перестановок рядків і стовпців, а це – досить трудомістка операція.
7.6. Частини графа, суграфи й підграфи.
Означення
7.12. Граф
називається частиною графа
,
якщо множина його вершин
міститься в множині
,
а множина
ребер – в
.
Якщо
,
то частина графа називається суграфом.
Приклад 7.7. Для графа (рис.7.7) наведемо декілька частин (рис.7.8 а), б), в), г), д))
|
|
Рис.7.7.
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
|
|
|
|
||
|
г) |
д) |
||
|
Рис.7.8 |
|||
частина графа, що наведена на рис.7.8 д) є суграфом.
Наприклад,
існує нульовий суграф,
множина ребер якого є порожньою. Суграф
покриває вершини неорієнтованого графа
(або є покривним), якщо будь-яка вершина
останнього – інцидентна хоча б одному
ребру з
.
Суграф (рис.7.8 д) прикладу 7.7 є покривним
для графа (рис.7.7). Таким чином, якщо в
графі
існує ізольована вершина
,
не інцидентна жодному ребру, покривного
суграфа
цього графа не існує.
Означення
7.13.
Підграфом
графа
називається частина графа з множиною
вершин
,
якщо
її ребрами є всі ребра з
,
обидва кінці яких належать
.
Частина
графа (рис.7.8 г) є підграфом графа (рис.7.7)
на чотирьох вершинах. Зірчастий граф
для вершини
складається з усіх ребер із початком
або кінцем у вершині
і вершин, інцидентним цим ребрам
(включаючи і вершину
).
Означення
7.14.
Доповнення
частини
визначається множиною всіх ребер графа
,
які не належать
.
Об’єднання
і переріз
частин
і
графу
визначаються природно:
;
;
;
.
Дві
частини
та
не перерізаються по вершинах, якщо вони
не мають загальних вершин, а значить, і
спільних ребер. Об’єднання
частин, що не перерізаються по вершинах,
називається прямою сумою. Аналогічно
визначається пряма сума будь-якого
числа частин. Частини
й
не перерізаються по ребрах, якщо
.
Наприклад, для будь-якої частини
та її доповнення
сума
є прямою по ребрах.
Вправа 7.2.
1. Визначити, чи ізоморфні графи, наведені на рис.7.9.
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
г) |
|
Рис.7.9 |
|||
Навести їхні матриці сумісності.
2. Визначити, чи ізоморфні графи, наведені на рис.7.10.
|
|
|
|
а) |
б) |
|
Рис.7.10 |
|
3. Зображено графи (рис.7.11)
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
|
Рис.7.11 |
||
1) Навести приклади частин графів, суграфів, підграфів.
2) Визначити максимальний повний підграф кожного графа.