![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Передмова
- •Розділ I Вступ до алгебри логіки
- •1.1.1. Логічні (булеві) функції
- •1.1.2. Способи подання булевих функцій
- •1.1.3. Булеві функції однієї змінної
- •1.1.4. Область визначення логічної функції
- •1.1.5. Елементарні функції алгебри логіки
- •1.2. Алгебра логіки
- •1.2.1. Поняття формули в алгебрі логіки
- •1.2.2. Еквівалентність формул
- •1.2.3. Елементи загальної алгебри
- •1.2.4. Закони булевої алгебри
- •1.3 Повні набори функцій
- •1.4 Канонічні форми булевих функцій
- •1.4.1 Проблема розв’язуваності
- •1.4.2 Нормальні та досконалі диз’юнктивні нормальні форми логічних функцій
- •1.4.3. Нормальні та досконалі кон’юнктивні нормальні форми логічних функцій
- •1.5. Спрощення формул
- •1.5.1. Утворення скороченої днф методом Квайна
- •1 Етап. Початкове скорочення формули.
- •2 Етап. Розставляння міток.
- •3 Етап. Знаходження суттєвих доданків.
- •4 Етап. Викреслювання зайвих стовпців.
- •1.5.2. Утворення скороченої днф за методом Мак Класкі
1.3 Повні набори функцій
Як видно з вищенаведеного, одна й теж сама логічна функція може бути задана декількома формулами, які містять різні набори логічних операцій . Існують набори логічних функцій, за допомогою яких можна виразити будь-яку іншу функцію алгебри логіки . Такі набори (системи) називаються повними системами функцій алгебри логіки, або базисами.
Означення
1.12.
Система
булевих функцій
}
називається функціонально повною, якщо
будь-яка булева функція може бути
записана у вигляді формули через функції
цієї системи.
Як
приклад повної системи, можна навести
систему, яку складають всі булеві
функції. Кількість функцій –
.
Так, усі 16 функцій двох змінних утворюють
повну систему.
Повні набори (системи) функцій характеризуються певним набором властивостей функцій, які є її складовими.
Приклад
1.20.
Наведемо
приклади повних систем, використовуючи
позначку інверсії
:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
|
|
Справедливе таке твердження :
Будь-яка
функція алгебри логіки може бути задана
формулою за допомогою диз’юнкції,
кон’юнкції й заперечення. Із цього
випливає, що система функцій
є функціонально повною.
Таким
чином, для доведення функціональної
повноти будь-якої системи функцій
достатньо показати, як можна виразити
за допомогою функцій цієї системи.
Або
навпаки, для доведення функціональної
повноти будь-якої системи функцій,
достатньо показати, як можна виразити
функції цієї системи за допомогою
операцій
.
Приклад
1.21.
Щоб
довести повноту системи
із п.2 прикладу 1.20 достатньо показати,
що операція
може бути виражена через
і
,
а щоб довести повноту системи
із
п.3
прикладу
1.20
достатньо
показати, що операція
може бути виражена через
і
.
Це можна зробити за допомогою вже відомих вам законів де Моргана:
;
.
Повнота
системи
,
яка складається із однієї операції
штрих Шиффера, і системи
,
яка складається із однієї операції
стрілка Пірса, доведено в попередньому
параграфі.
В
табл.1.11 наведені властивості булевих
операцій
,
які є аналогічними властивостям звичайних
алгебраїчних операцій додавання,
віднімання, множення і ділення над
числами. Множина значень 0 і 1, яких
набувають булеві змінні, разом з
операціями
утворюють булеву алгебру. Основними
властивостями операцій булевої алгебри
є властивості наведені в табл.1.11.
Перетворення булевих формул згідно
табл.1.11 називається алгебраїчними
перетвореннями.
Виникає
питання, навіщо потрібне поняття повноти
системи булевих функцій. Відповідь
полягає в наступному. Виходячи з деяких
міркувань, можна обрати деяку повну
систему і тоді будь-яку формулу представити
за допомогою функцій обраної системи.
Наприклад, в мікросхемотехніці завдяки
простоті реалізації обирають систему
.
Крім того, обрана повна система дозволяє
робити перехід від табличного подання
булевих функцій, до подання у вигляді
формули. Про це далі.