![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Передмова
- •Розділ I Вступ до алгебри логіки
- •1.1.1. Логічні (булеві) функції
- •1.1.2. Способи подання булевих функцій
- •1.1.3. Булеві функції однієї змінної
- •1.1.4. Область визначення логічної функції
- •1.1.5. Елементарні функції алгебри логіки
- •1.2. Алгебра логіки
- •1.2.1. Поняття формули в алгебрі логіки
- •1.2.2. Еквівалентність формул
- •1.2.3. Елементи загальної алгебри
- •1.2.4. Закони булевої алгебри
- •1.3 Повні набори функцій
- •1.4 Канонічні форми булевих функцій
- •1.4.1 Проблема розв’язуваності
- •1.4.2 Нормальні та досконалі диз’юнктивні нормальні форми логічних функцій
- •1.4.3. Нормальні та досконалі кон’юнктивні нормальні форми логічних функцій
- •1.5. Спрощення формул
- •1.5.1. Утворення скороченої днф методом Квайна
- •1 Етап. Початкове скорочення формули.
- •2 Етап. Розставляння міток.
- •3 Етап. Знаходження суттєвих доданків.
- •4 Етап. Викреслювання зайвих стовпців.
- •1.5.2. Утворення скороченої днф за методом Мак Класкі
1.1.5. Елементарні функції алгебри логіки
У
математичній логіці елементарні функції
відіграють таку саму важливу роль, як,
наприклад,
або
у звичайній алгебрі.
Приклади
елементарних функцій однієї змінної
наведено в табл.1.2. У табл.1.3. подано 16
функцій двох змінних, з яких шість
,
,
,
,
,
,
є константами або функціями одного
аргументу. Інші 10 функцій залежать від
двох аргументів і мають свої загальноприйняті
позначення та назви, зазначені в табл.1.3.
Таблиця 1.3 |
|||||
Позначення функції |
Найменування функції |
а |
|||
0 |
0 |
1 |
1 |
||
b |
|||||
0 |
1 |
0 |
1 |
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Кон’юнкція (логічне множення) |
0 |
0 |
0 |
1 |
Продовження таблиці 1.3 |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Диз’юнкція (логічне додавання)0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
Імплікація
(від
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Обернена
імплікація (від
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
Рівносильність |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
Нерівносильність (додавання за модулем 2) |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
Функція Шеффера (інверсія кон’юнкції) |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
Функція стрілка Пірса – Вебба (інверсія диз’юнкції) |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
Інверсія
імплікації (функція заборони за
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Інверсія
оберненої імплікації (функція заборони
за
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
Повторення
а
(змінна
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
Інверсія а |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
Повторення
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
Інверсія
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
Одинична функція (константа 1) |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Нульова функція (константа 0) |
0 |
0 |
0 |
0 |
Розглянемо найважливіші функції від двох змінних.
Функція
– кон’юнкція
(логічне множення) істинна тоді і тільки
тоді, коли
і
– істинні. Кон’юнкцію називають також
функцією І; умовно її позначають
.
Функція
– диз’юнкція
(логічне додавання) істинна тоді і тільки
тоді, коли істинними є або
,
або
,
або обидві змінні. Диз’юнкцію часто
називають також функцією АБО й умовно
позначають так:
.
Від
диз’юнкції потрібно відрізняти функцію
яка називається функцією додавання
за модулем 2
(функцією нерівнозначності або
різнойменності) і є істинною тоді і
тільки тоді, коли істинні або
,
або
окремо. Умовне позначення цієї функції
.
Приклад
1.1.
Маємо
два висловлення: «Завтра буде холодна
погода», «Завтра піде сніг», які
розглядатимемо як булеві змінні
і
,
тому що вони можуть бути істинними або
хибними незалежно одне від одного.
Диз’юнкція цих висловлень
– нове висловлення «Завтра буде холодна
погода, або піде сніг». З’єднувальний
сполучник, що утворив нове висловлення,
це сполучник АБО. Диз’юнкція буде
істиною в трьох випадках:
1) істинне тільки перше висловлення;
2) істинне тільки друге висловлення;
3) істинні обидва висловлення одночасно.
Кон’юнкція
утвориться таким чином: «Завтра буде
холодна погода і піде сніг». Це висловлення
утворено за допомогою сполучника І. Ця
кон’юнкція буде істинною тільки за
умови істинності обох аргументів
(висловлень) одночасно.
Розглянемо
результат виконання
.
Це висловлення „завтра буде холодна
погода або завтра не буде холодна
погода”. Побудуємо таблицю істинності
(табл.1.4):
Таблиця 1.4 |
||
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Висловлення
„Завтра буде холодна погода або завтра
не буде холодна погода” є за будь-яких
значень змінної
істинним.
Функція
Шеффера
(штрих Шеффера) – це функція
,
яка є хибною тоді і тільки тоді, коли
і
є істинними. Умовне позначення цієї
функції
.
Німецький
математик Д.Шеффер
на основі цієї функції створив алгебру,
названу алгеброю Шеффера. Функція
є універсальною (або складає повну
систему функцій), тобто функцією, за
допомогою якої можна представити
будь-яку логічну функцію двох змінних.
Але про це пізніше.
Функція
стрілка Пірса-Вебба
– це функція
,
що є істинною тоді і тільки тоді, коли
і
є хибними. Умовне позначення цієї функції
.
Математики
Ч.Пірс та Д.Вебб, які незалежно один від
одного вивчали властивості цієї функції,
створили алгебру, названу алгеброю
Пірса – Вебба. Функція
також є універсальною.
Імплікація
– це функція яка є хибною тоді й тільки
тоді, коли
є істинним, а
- хибним. Умовне позначення цієї функції
.
Розглянути
всі функції, що залежать від трьох
аргументів, важко, оскільки їх число
становить
.
Але всі вони зводяться до функцій двох
змінних.