1.2.2. Еквівалентність формул

Означення 1.7. Формули та називаються еквівалентними (або тотожними, або рівносильними), якщо є рівними функції та , що реалізовані відповідно формулами і , тобто . Тоді запис означає, що й – еквівалентні формули.

Ми це вже використовували в табл.1.3, коли писали .

Приклад 1.5. Наведемо приклади важливих еквівалентних формул:

1. ;	6. ;
2. ;	7. ;
3. ;	8. ;
4. ;	9. ;
5. ;	10. .

Зрозуміло, що кожній формулі відповідає деяка функція алгебри логіки, а еквівалентним формулам і – одна і та ж сама функція. Причому, в формулах та F2 можуть використовуватися різні логічні операції.

Існує декілька способів доведення еквівалентності (тотожності, рівносильності) двох формул i алгебри логіки. Першим (і самим, на наш погляд, простим) є спосіб доведення за допомогою таблиць істинності. Цей спосіб містить два кроки:

1) побудувати таблиці істинності формул і .

2) порівняти ці таблиці на кожному кортежі (наборі аргументів).

Якщо ці таблиці збігаються, то розглянуті формули і . є еквівалентними. В протилежному випадку і . не є еквівалентними.

Приклад 1.6. Рівносильність 2 вже доведено у табл. 1.8 в. за допомогою таблиць істинності доведемо рівносильності 10, 3 з прикладу 1.5 (див. табл.1.9, 1.10).,

Таблиця 1.9
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	1	1

Таблиця 1.10
0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	1

Звідси можна зробити наступний висновок: якщо формули та рівносильні, то формула () (еквівалентність) набуває значення істини при всіх значеннях змінних, і навпаки; якщо формула () набуває значення істини при всіх значеннях змінних, то формули та – рівносильні.

Іншими словам дві формули й називаються еквівалентними, якщо вони задають одну і ту саму булеву функцію всіх змінних, що входять у ці фор-мули.

1.2.3. Елементи загальної алгебри

Із табл.1.3 випливає, що такі елементарні функції, як заперечення, диз'юнкція, кон'юнкція, функція Шеффера, стрілка Пірса-Вебба, імплікація і т.д., знаходяться в певному зв'язку одна з одною.

Розглянемо ці зв'язки та властивості зазначених функцій кон’юнкції, диз’юнкції, заперечення (функцій І, АБО, НІ).

В звичайній алгебрі ви зустрічалися з операціями додавання, віднімання, множення та ділення. Ці операції є бінарними, можна також сказати, що всі чотири операції являються функціями від двох змінних (чисел), які ставлять у відповідність числам – число. Наприклад, операція додавання ставить у відповідність двом числам 3 і 7 число 10 (3+7=10). Булеві функції двох змінних теж ставлять у відповідність двом булевим змінним (числам 0 або 1) булеву змінну (число 0 або 1). Тобто можна сказати, що вони є булевими операціями булевих змінних.

Візьмемо деяку узагальнену операцію , розуміючи під нею хоч булеву операцію, хоч операцію з числами, і розглянемо деякі загальні властивості операцій.

Властивості бінарних операцій.

Означення 1.8. Операція асоціативна, якщо для будь-яких чисел справджується

.

Приклад 1.7. Приклади асоціативних операцій – це операції додавання і множення в звичайній алгебрі:

, наприклад ;

, наприклад .

Приклади операцій, що не є асоціативними – це операції віднімання і ділення:

, наприклад ;

, наприклад .

Означення 1.9. Деяка операція комутативна, якщо для будь-яких чисел і справджується

.

Приклад 1.8. Приклади комутативних операцій, це операції додавання і множення:

, наприклад ;

, наприклад .

Приклади операцій, які не є комутативними – це операції віднімання і ділення.

, наприклад ;

, наприклад .

Таким чином, розглядаючи деяку операцію, можна перевірити, чи має вона властивості асоціативності і комутативності. Якщо ми розглядаємо не одну, а дві операції (наприклад, і ), то можна з’ясувати, чи виконується властивість дистрибутивності.

Означення 1.10. Операція дистрибутивна зліва відносно операції , якщо для будь-яких чисел справджується

.

Приклад 1.9. Прикладом таких операцій є операція множення і додавання, тобто операція множення дистрибутивна зліва відносно операції додавання:

,

але не навпаки:

, наприклад .

Операція взведення в степінь не дистрибутивна зліва відносно операції множення:

, наприклад .

Означення 1.11. Операція дистрибутивна справа відносно операції , якщо для будь-яких чисел справджується

.

Приклад 1.10. Операція множення дистрибутивна справа відносно операції додавання, але не навпаки, тобто

, але

, наприклад .

Операція взведення в степінь дистрибутивна справа відносно операції множення:

, наприклад .