1.1.1. Логічні (булеві) функції

Основним поняттям алгебри логіки є висловлення. Образно кажучи, висловлення – це деяке твердження, про яке можна сказати, що воно є або істинним, або хибним. Наприклад, «Разом із розвитком ринкових відносин зростає ймовірність виникнення непередбачуваних ускладнень, підвищується ступінь ризику на всіх рівнях», «У страховій справі є два головних суб’єкти – страховик та страхувальник», «Маркетинг – це комплекс заходів в області досліджень торгівельно-збитової діяльності підприємств, з вивчення всіх чинників, які впливають на процес виробництва і просування товарів та послуг від виробника до споживача», «10 ділиться на 5 без залишку» – істинні висловлення. «Виробники можуть вистояти у ціновій конкуренції і максимально підвищити прибутки тільки за рахунок мінімізації витрат» або «На вулиці йде дощ» може бути істинним або хибним залежно від додаткових відомостей. Будь-яке висловлення можна позначити символом і вважати, що за умови істинності, а за умови хибності висловлення.

Означення 1.1. Логічними (булевими) змінними в булевій алгебрі називають величини, які незалежно від їхньої конкретної суті можуть набувати лише двох значень.

Ці значення будемо позначати нулем (0) й одиницею (1), маючи на увазі, що 0 і 1 це формальні символи, що не мають арифметичного змісту, а зображують будь-які змінні, що набувають лише двох значень, наприклад „ТАК” і „НІ”, „ІСТИННО” (І) – „ХИБНО” (Х) і т.д. Якщо змінна має одиничне значення, то записуємо , а якщо нульове, то .

Як у звичайної алгебри будуються функції від дійсних чисел, так і від булевих змінних можна будувати функцій.

Означення 1.2. Булевою, або логічною, функцією називають функцію , яка, як і її аргументів, може набувати лише двох значень: 0 або 1.

В обчислювальній техніці булеві функції застосовуються для опису алгоритмів, засобів цієї техніки – дискретних пристроїв. Останні призначаються для перетворення дискретної інформації, що розкладається на елементарні одиниці – біти, які в пристроях реалізуються сигналами, що описуються двійковими змінними – булевими. Але це не єдине призначення булевих змінних.

Існує ціла низка економічних задач, вирішення яких базується на застосуванні булевих змінних. Наприклад, у так званої задачі про призначення треба розподіляти робіт по станках (при відомих вартостях виконання –ї роботи на –му станку) з мінімальною сумарною вартістю виконання всіх робіт. Для вирішення вводяться булеві змінні

За допомогою булевих змінних вирішуються задачі цілочисельного програмування і багато інших задач.

Означення 1.3. Сукупність значень аргументів називається кортежем або набором. Функція , що залежить від аргументів, називається -місною і є повністю визначеною, якщо задано її значення для всіх наборів (кортежів) значень аргументів.

Кожному кортежу можна поставити у відповідність терм - довільний елементарний добуток двійкових змінних . Якщо в кортежі , то в термі замість записується змінна , а якщо , то . Наприклад, терму відповідає кортеж, в якому .

Будь-яке ціле невід’ємне число можна записати у вигляді суми

,

де – основа системи числення; – співмножник, що набуває значень від 0 до ().

Кількість доданків визначається розрядністю чисел.

Кортеж значень аргументів логічної функції можна розглядати як запис цілого додатного числа у двійковій системі числення (); тоді – розряд одиниць, – розряд двійок, – розряд четвірок.

Десятковий еквівалент двійкового подання числа називається номером кортежу. Таким чином, перше число має номер кортежу 5, друге – 15, а третє – 16.