19. Эйлеровы графы.

Эйлеровым путем в графе называется цепь, содержащая все ребра

графа.

Эйлеровым циклом называется замкнутый эйлеров путь.

Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эйлеровым графом.

Граф является эйлеровым, если его можно "нарисовать", не отрывая карандаша от бумаги, проходя по каждому ребру по одному разу, закончив путь в начальной точке.

Теорема 1. Связный граф G является эйлеровым графом тогда и только тогда, когда степень каждой его вершины четна.

Теорема 2. В связном графе существует эйлеров путь тогда и только тогда, когда все вершины графа четные или в точности две вершины нечетные.

20. Гамильтоновы графы.

Простой цикл, содержащий все вершины графа, называется гамильтоновым циклом. Граф называется гамильтоновым графом, если он имеет гамильтонов цикл.

Из определения видно, что необходимым условием гамильтоновости графа является его связность. До сих пор не найдено хорошего необходимого и достаточного условия гамильтоновости графа, Известен ряд достаточных условий гамильтоновости графа. Одно из них выглядит так:

Если G -- связный граф с n вершинами и для каждой вершины v

deg(v) > =(1/2) *п, то этот граф гамильтонов.

Приведенное условие не является необходимым (достаточно рассмотреть пятиугольник).

21.Деревья

Деревом называется связный граф, который не содержит циклов.

Граф, не содержащий циклов, называется лесом. Из определений следует, что каждая компонента связности леса есть дерево.

Примеры.

Теорема 1. Следующие утверждения для графа G, имеющего п вершин и т ребер эквивалентны:

1. G-дерево;

2. для любых двух вершин графа существует единственный маршрут из одной из них в другую;

3. G - связный граф и удаление любого ребра из G превращает его в объединение двух деревьев;

4. С - связный граф и n= т+1;

5. G не содержит циклов и n= т+1.

22Деревья..Остов наименьшего веса

Пусть - граф и - весовая функция. Как обычно, предполагается, что все рассматриваемые графы связны. Остовом графа, напомним, называвается подграф, яв-ляющийся деревом и содержащий все вершины данного графа. Нетрудно доказать, что в каж-дом графе обязательно есть остов.

Как определялось ранее, вес подграфа - это сумма весов его ребер. Ясно, что во взвешен-ном графе существует остов наименьшего веса.

Существует алгоритм Краскала, позволяющий найти остов минимального веса в любом взвешенном графе. Дадим его описание по шагам.

Шаг 1. Найдем в данном графе ребро минимального веса (если таких несколько, фикси-руем любое). Обозначим его через ; кроме того, фикисруем подграф в данном графе , со-стоящий из концов ребра и самого этого ребра. Обозначим этот подграф через .

Шаг 2. Фиксируем в данном исходном графе второе ребро - обозначим его через , - вес которого минимален относительно весов всех ребер, не принадлежащих . Подграф, со-стоящий из ребер , и их концов обозначим через .Шаг 3. Фиксируем в графе ребро - обозначим его через , - имеющее минимальный вес среди всех ребер графа , не принадлежащих , и не составляющих цикла с ребрами из . Подграф, состоящий из ребер , , и их концов, обознаим через .

Шаг 4. Фиксируем в графе ребро - обозначим его через , - имеющее минимальный вес среди тех ребер графа , которые не принадлежат и не образуют цикла с ребрами из . Подграф, состоящий из ребер , , , и их концов обознаим через .

Общий шаг - шаг № k. Фиксируем в графе ребро – обозначим его через , - имею-щее минимальный вес среди ребер, не входя-щих в и не составляющих цикла с ребрами из . Подграф, состоящий из ребер , , ,..., , обозначим через .

Можно доказать, что если в исходном графе количество вершин равно , то подграф будет искомым остовом.