Вопр.№12Графы опр и пр. Степ. Вер. Виды графов

Графом или неориентированным графом называется упорядоченная пара G=(V,X), состоящая из конечного непустого множества V, элементы которого называются вершинами графа и некоторого множества X неупорядоченных пар различных элементов из V. Элементы множества X называются ребрами графа G.

Если в определении графа вместо множества X пар различных элементов рассматривать конечную совокупность пар различных элементов (т.е. может быть несколько одинаковых пар {vi, vj}), то объект G = (V, X) называется графом с кратными ребрами или мультиграфом.

Ребра вида {v, v} называются петлями. Если X содержит петли и кратные ребра, то G = (V,X) называется графом с кратными ребрами и петлями или псевдографом.

Если в определении графа (мультиграфа) вместо множества (совокупности) неупорядоченных пар элементов из V рассмотреть множество (совокупность) упорядоченных пар из V, то G = (V, X) называется ориентированным графом (ориентированным мультиграфом) или орграфом В этом случае элементы множества X называются дугами. Дуга изображается стрелкой с началом в вершине v_i и концом в вершине v_j.

Степенью (валентностью) вершины v графа (мультиграфа) называется число ребер графа инцидентных вершине v (петля учитывается дважды), обозначается d(v) или deg(v).

Вершина степени 0 называется изолированной.

Вершина степени 1 называется висячей вершиной. Ребро, инцидентное висячей вершине, называется концевым ребром.

Теорема. В конечном графе число вершин нечетной степени четно.

Граф с пустым множеством ребер (он же однородный степени 0) называется вполне несвязным или нулевым графом.

Граф называется полным, если любые две вершины его смежны. Из определения следует, что полный граф с n вершинами является однородным степени n-1. Обозначение: Кn.

Граф G=(V.X) называется двудольным, если существует разбиение V=V1UV2 (V1^V2=непустое множество), такое, что никакие две вершины из Vi (i=1, 2) не являются смежными. Обозначение: G =(V1UV2, X).

Двудольный граф G=(V1UV2, X)называется полным двудольным графом, если для любых v1 из V1, для любых v2 из V2 v1 инцидентна v₂. Полный двудольный граф

13.Расширение модели Части графа

Графовая модель при описании конкретных объектов, процессов или явлений может быть расширена следующим образом.

1. Взвешивание дуг (ребер). Каждому ребру графа приписывается число - вес дуги (ребра). В частном случае ограничиваются случаем, когда вес дуги является неотрицательным числом. Вес может обозначать, например, расстояние между городами, если вершинам приписаны имена городов а ребрам - дороги между ними. Для описания взвешенного графа используется матрица смежности, в которой в ячейках записаны веса. Если особо не оговорено, то под взвешенным графом будем понимать такой граф.

2. Взвешивание вершин. Аналогично дугам веса приписываются вершинам. Например, вершинам составлены магазины и склады, тогда веса могут обозначать, например, количество некоторого товара на складе или в магазине.

3. Взвешивание дуг и/или вершин векторами. Взвешивание производится не числом, а набором чисел. Например, кроме расстояния для дороги могут быть указаны стоимость проезда, время в пути и т.д.

1. В графе допускается несколько “параллельных” дуг в одном и том же направлении между двумя вершинами. В этом случае говорят о кратных дугах, а такие графы называют мультиграфами. Для описания мультиграфов используются такие же таблицы, как и для простых графов, но в клетках записаны не 0 и 1, а кратность дуги.

2. В графе используется не бинарное, а r-арное отношение, где r больше 2. Такие графы называются гиперграфами. Для представления этих графов на плоскости вершины, которые относятся к одному ребру, объединяются замкнутыми линиями как на рис. 3. Здесь граф имеет три ребра:

(1, 2, 3), (1, 2, 4), (4, 5, 6). К таким графам приходят при описании логических сетей, когда элементы находятся в отношении, если они имеют полюса, связанные общей цепью.

Для графа G=<A,U> граф H=<A,U’> называется частичным графом графа G, если в нем U’  U. Граф P=<A’,U’’> называют подграфом графа G, если A’  A и U’’ подмножество всех дуг из U, связанных с вершинами из А’. И, наконец, граф Q=<A’,U^*> , где U^* U’’, называют частичным подграфом графа G.