16 Двудольные графы.

Граф G=(V,X) называется двудольным, если существует разбиение V=V1UV2(V1пересечениеV2=непустое множество), такое, что никакие две вершины из Vi (i = 1, 2) не являются смежными. Обозначение: G = (V1UV2, X). Заметим, что двудольный Граф может быть несвязным.

Звездой называется полный двудольный графK1,_n

Из определений видно, что граф K_m,,n содержит тп ребер.

Теор. Граф является двудольным тогда и только тогда, когда все его простые циклы имеют четную длину.

Доказательство. Необходимость. Пусть G=(V,X) двудольный граф, тогда существует разбиение V=V1UV2 вершин графа, такое, что любое ребро графа инцидентно одной вершине из V1 и одной вершине из V₂. Пусть v1, v2, .... ,v1— последовательноcnm. вершин графа, соответствующая простому циклу. . Если v1 из V1, то вcе вершины этой последовательности с нечетными номерами принадлежат V1, а все вершины с четными номерами принадлежат Vг-Следовательно, число ребер в рассматриваемом простом цикле четно.

Достаточность. Заметим, что если в графе все простые циклы имеют четную длину, то и все замкнутые маршруты имеют четную длину (из произвольного замкнутого маршрута можно получить простой цикл, убирая из него последовательно простые циклы между соседними одинаковыми вершинами заданного маршрута, т.е., убирая четное число ребер). Предположим, что G - связный граф (для доказательства достаточно рассмотреть компоненту связности). Зафиксируем вершину v1 из V. Обозначим через V1 множество, состоящее из вершины v1 и всех вершин из V, находящихся на четном расстоянии от v1. Обозначим V2= VV1. Покажем, что каждое ребро графа G соединяет, вершину из V1, с вершиной из V₂. Если ребро соединяет v с u и v,u из V1_ь то найдутся цепи четной длины, соединяющие v1 c v и v1c u. Объединение этих цепей с ребром, соединяющим v с u, является замкнутым маршрутом нечетной длины. Противоречие. Ecли v,u еV₂, то, в силу связности графа, существуют цепи, соединяющие v1 c v и v1 c и. Поскольку v,u не из V1, то эти цепи имеют нечетную дину. Объединение этих цепей с ребром, соединяющим v с u, является замкнутым маршрутом нечетной длины. Противоречие. Следовательно, граф G -двудольный.

Следствие. Двудольный граф не содержит треугольников (т.е. подграфов, изоморфных К₃),

17.Связные графы

Граф G называется связным, если для любых двух вершин его существует, маршрут, соединяющий их.

Максимальный связный подграф графа G называется компонентой связности.

Теорема 1. Каждый псевдограф единственным образом раскладывается в объединение своих непересекающихся компонент связности.

Теорема 2. Если в конечном графе G в точности две вершины имеют нечетную степень, то они принадлежат одной компоненте связанности.

Диаметром связного графа называется расстояние между двумя наиболее удаленными его вершинами.

Теорема 3. Если граф G имеет п вершин и k компонент связности, то максимальное число ребер в G равно 1/2 (n - k)(n -к+ 1).

18. Изоморфные графы

Два графа называются изоморфными, если между множествами их вершин можно установить такую биекцию, при которой две вершины первого графа смежны тогда и только тогда, когда смежны соответству-ющие вершины второго графа.

Для псевдографов изоморфизм определяется как существование пары биекций множества вершин и множества ребер первого псевдографа в множество вершин и в множество ребер второго псевдографа, при котором вторая биекция сохраняет инцидентность вершин.

Как связаны матрицы смежности вершин изоморфных графов? Так как изоморфный граф получается из данного переименованием вершин, то матрица смежности вершин изоморфного графа получается из матрицы смежности вершин исходного графа одновременной перестановкой строк и столбцов с соответствующими номерами.