6. Разложение Холесского с внешним произведением и с поблочным вычислением матриц.

Теорема

Любая положительно-определенная матрица может быть представлена в виде произведения двух матриц: нижней треугольной матрицы и транспонированной к ней верхней треугольной матрицы.

– нижняя треугольная матрица

– верхняя треугольная матрица

Матрица называется положительно-определенной, если она невырождена, если все ее коэффициенты – действительные числа, и если при любом ненулевом векторе , величина

Положительно-определенная матрица является симметричной, т.е. .

Из того, что матрица является положительно-определенной, т.е. она невырождена, действительная и при любом векторе произведение :

1)

2)

3)

Приравнивая элемента строки получим уравнение:

При

Все действия алгоритма является выполнимыми, если матрица является положительно- определенной матрицей.

Существуют разные модификации метода разложения Халецкова. Мы остановимся на одной: метод Халецкова с внешним произведением.

В этом методе используется блочное представление матриц, а именно матрица записывается в виде:

Размер матрицы на 1 меньше размера матрицы ,

0 – нулевой вектор

1)

2)

1. 

4) , размер матрицы на 1 меньше, чем размер матрицы .

По приведенному вычисляются значения первой строки и первого столбца .

До тех пор, пока матрица не станет равной .

Число операций, необходимых для выполнения этого преобразования равно .

Доказательство теоремы Халецкого

1. Нужно доказать, что

, ,

2. Извлечение корня и деление допустимы во всех случаях. Нужно доказать, что – положительно определенная матрица.

Если матрица представлена в блочной форме: , и , – квадратные матрицы, т.е. , , то из того, что матрица – положительно-определенная, следует, что матрицы и – положительно-определенные

.

Этот алгоритм справедлив только для положительно-определенной матрицы.

Помимо двух рассмотренных алгоритмов, существует окаймляющая форма метода Халецкова и метод побочного вычисления.

7. Метод исключения Гаусса и lu-разложение. Понятие эквивалентности систем уравнений, понятие и состав элементарных операций.

См. вопрос 4 или:

Процесс решения системы линейных уравнений

по методу Гаусса состоит из 2х этапов:

Прямой ход

Система (2) приводится к треугольному виду

1. Предполагаем, что . Тогда первое уравнение системы (2) делим на коэффициент , в результате получаем уравнение

Затем из каждого из оставшихся уравнений вычитается первое,

умноженное на соответствующий коэффициент , в результате система преобразуются к виду:

2. В предположении, что , делим второе уравнение на коэффициент и исключаем неизвестное из всех последующих уравнений и т.д.

3. Получаем систему уравнений с треугольной матрицей:

Если матрица A имеет невырожденными все ведущие главные подматрицы , то матрица A единственным образом разлагается в произведение матриц L и U.

Системы называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже решение.

Элементарные операции – операции, при которых в результате перестановки система является эквивалентной предыдущей системе.

Элементарные операции:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) сложение строки с другой строкой, умноженной на число.