21. Ортогональные и ортонормальные системы функций и многочленов. Скалярное произведение. Ортогонализация произвольной системы линейно независимых функций. Формула Грама – Шмидта.

Если – система линейно-независимых функций: , принадлежащих пространству H: , то существует система независимых ортогональных функций: , каждая из которых может быть представлена в виде линейной комбинации линейной системы: .

Условие ортогонализации: .

Доказательство:

оно является конструктивным, т.е. основывается на построении алгоритма нахождения ортогональных функций по исходной системе независимых функций.

Первая функция ортогональной системы.

Пусть

Из условия ортогонализации: ,

На каком-то шаге получим ортогональные функции: , .

Коэффициенты этой линейной комбинации определяются из условия ортогонализации функции всем предшествующим функциям системы.

Система функций по условию ортогональна, значит, , следовательно,

Процедура ортогонализации называется процедурой Грамма-Шмидта.

Все функции выражаются через старую функцию, значит, все функции можно представить в виде линейной комбинации системы функций: .

Если представить исходную и ортогональную системы функций в виде векторов:

, ,

то переходы к ортогональной система в матричном виде: .

Матрица B является нижней унитарной матрицей:

Коэффициенты матрицы A – коэффициенты, полученные в процессе ортогонализации.

При рассмотрении ортогональных многочленов в качестве независимой системы используется система степенных функций:

К ортогональным многочленам относятся многочлены Чебышева первого и второго рода. Ортогональные многочлены легко находятся с помощью рекуррентных формул.

Так многочлены Чебышева первого рода определяются:

Многочлены Чебышева первого рода являются многочленами ортогональными на интервале с весом

Условие ортогонализации:

Многочлены Чебышева второго рода можно найти по рекуррентной формуле:

Многочлены Чебышева второго рода являются ортогональными на интервале с весом .

22. Квадратурные формулы Гаусса. Наиболее распространенные формулы.

Задачи построения квадратурной формулы Гаусса с n узлами заключается в решении задачи оптимизации, в рамках которой, квадратурная формула должна быть точной для любых многочленов в максимально возможной степени.

Неизвестными коэффициентами являются как коэффициенты квадратурной формулы, так и ее узлы.

– коэффициенты квадратурной формулы

Число независимых переменных равно .

Число коэффициентов:

Если квадратурная формула является точной для многочлена степени n, то она является точной и для всех степеней переменной x.

  1) Квадратурные Гаусса формулы — формулы вида      в которых узлы x_k и коэффициенты A_k не зависят от функции f (x) и выбраны так, что формула точна (т. е. R_n = 0) для произвольного многочлена степени 2n - 1. В отличие от квадратурных формул Ньютона — Котеса, узлы в квадратурных Гаусса формулы, вообще говоря, не являются равноотстоящими. Если р (х) ³ 0 и       то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Гаусса формулы Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай р (х) º 1.   2) Гаусса формулы, выражающая полную кривизну К поверхности через коэффициенты её линейного элемента; в координатах, для которых ds² = l(du² + dv²), Гаусса формулы имеет вид      Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии поверхности.   3) Гаусса формулы для сумм Гаусса:      Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов