4.Математическое описание случайных погрешностей.

4.1. Общие сведения

Свойства случайной величины описывают функции распределения, которая определяет вероятность того, что случайная величина, например результат наблюдения , некоторого значения .

Функция является неубывающей, причем ,а .

Более наглядно свойства случайных погрешностей описывают плотностью вероятности:

При наличии результатов наблюдений график функции может быть представлен в виде гистограммы.

Кроме того, можно доказать, что

и вероятность попадания в интервал

Измеряя какую-либо величину мы никогда не определим ее истинное значение из-за погрешностей, т.к. они возникают вследствии многих причин, о существовании некоторых мы даже и не подозреваем. Поэтому при измерениях мы только оцениваем измеряемую величину. К этой оценке предъявляются следующие требования:

1. Несмещенности – математическое ожидание стремится к истинному значению измеряемой величины;

2. Эффективности – при заданном числе измерений n- дисперсия стремится к минимальному значению;

3. Состоятельности – при числе измерений стремящемуся к бесконечности, оценка по вероятности стремится к истинному значению измеряемой величины.

Оценить измеряемую величину можно с помощью точечных и интервальных оценок.

Точечные оценки измеряемой величины.

1. Математическое ожидание (среднее значение):

т.е. измеренное значение неизвестной величины.

Часто случайную погрешность вычисляют по точным и интервальным оценкам.

Точечные оценки погрешностей:

1. Математическое ожидание погрешностей:

2. Дисперсия:

3. Среднеквадратичное отклонение результатов наблюдений:

4. Скорость результата наблюдений (т.е. математического ожидания):

Интервальные оценки выражаются в виде доверительных границ случайной погрешности результата измерений.

Доверительным называется интервал, внутри которого погрешность результата измерения находится с заданной вероятностью.

Доверительный интервал определяется как:

При заданной вероятности р, величину t определяют законом распределения. Для нормального закона при , t выбирается таблицам функций Лапласа. При в качестве t берется коэффициент распределения Стьюдента (также по таблицам).

Тогда интервал определяется как:

Для определения доверительного интервала обычно доверительную вероятность принимают равной 0.95.

В случаях, когда измерения повторить нельзя (n=3) и связаны с созданием эталонов и здоровья людей вероятность принимается равной 0.99.

4.2. Определение грубых погрешностей.

После исключения промахов, необходимо выявить грубые погрешности. Для этого вычисляют:

и в зависимости от n и уровня значимости определяют по таблице Лапласа (для ). Если , то данное является грубой погрешностью и его исключают.

Исходя из преобразований Лапласа можно заметить, что при t=1,2,3 вероятности появления случайной величины с учетом симметрии закона распределения равны 0,683;0,954;0,99 соответственно.

Вероятность P = 0,997 принято считать оптимальной, а t = 3 предельно возможной. Поэтому в метрологии критерием грубой погрешности является критерий "трех сигм". Если:

,

то результат - является грубой погрешностью.