9.2. Основные свойства пви-1

1)Fdσ=c, где с-const

2)

3)

4), где S- площадь поверхности

5)

6)

9.3.Гладкие поверхности

Опред.2 Плоскость, проходящая через т. М₀(Xo,Yo,Zo) наз. Касательной к поверхности S, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через т. М₀ и произвольной точкой М поверхности S, стремится к нулю, когда т.М стремится по поверхности к т.М₀.

Опред.3 Нормалью к поверхности S, проведенной в т. М₀ наз. Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности S в этой точке.

Опред.4 Поверхность S наз. Гладкой, если в каждой ее точке сущ. Касательная плоскость, положение которой непрерывно меняется вместе с непрерывным перемещением по поверхности точки касания.

Достаточным условием гладкости поверхности S, задаваемый уравнением z(x,y) является непрерывность функции f(x,y) и ее частных производных f’x и f’y замкнутой обл. S_xy- проекции поверхности S на плоскость xOy.

9.4.Вычисление пви-1 свидением к дви.

Теорема 9.2. (о сведении ПВИ-1 к ДВИ)

Вычисление ПВИ-1 от функции F(x,y,z) по поверхности S, задаваемой уравнением z=f(x,y) сводится к вычислению ДВИ по области S_xy- проекции поверхности S на плоскость xOy. По формуле:

и умножаем на (3)

Вывод: для сведения ПВИ-1 , где S:z=f(x,y) к ДВИ по S_xy нужно в подынтегральную функцию F(x,y,z) подставить вместо z f(x,y), а элемент площади поверх d заменить на .

Замечание! Если поверхность S задается уравнением y=(x,z) или x=(y,z), то аналогично получаем формулы для вычисления ПВИ-1:

1) S:y=(x,z)=> (4)

2)S:x=(y,z)=> (5)

Л.10. Поверхностные интегралы по координатам (пви-2)

10.1. Классификация гладких поверхностей.

Выберем на гладкой пов-ти S произвольную точку M. Проведём в ней нормаль к пов-ти и выберем конкретное направление вектора нормали (одно из двух возможных ).

Опр1. Гладкая пов-ть S наз. двусторонней если при перемещении точки M по произвольному замкнутому контуру, который лежит на этой пов–ти и не пересекает её границу, после этого обхода в направлении нормали не меняется на противоположное.

Опр2. Совокупность всех точек пов-ти S для которых выполняется условие двусторонности (выполняется опр1) наз-ся стороной поверхности

Опр3. Гладкая пов-ть S наз. односторонней, если на этой пов-ти можно указать хотя бы один замкнутый контур не пересекающей границы этой пов-ти при обходе которого направление нормали меняется на противоположное. Примерами двухсторонних пов-тей явл.: плоскость, сфера, эллипсоид, а также любая пов-ть задающаяся ур-ем z=f(x,y), где f(x,y), f^’_x(x,y), f^’_y(x,y) непрерывны в некоторой обл. S_xy – проекции S на пл. xOy. Примером односторонней пов-ти явл. Так называемый лист Мебиуса.

Опр4. Двусторонние пов-ти наз. ориентированными пов-тями, а выбор стороны пов-ти(определённый) наз. её ориентированными.

Опр5. если определённая сторона пов-ти выбрана( пов-ть сориентирована) то за положительное направление обхода замкнутого контура, расположенного на пов-ти S, считается то, при котором для наблюдателя, расположенного в конце вектора нормали обход этого контура осуществляется против часовой стрелки( противоположное направление обхода) наз. отрицательным.

Если изменить ориентацию пов-ти на противоположную, то положительное и отрицательное направления обхода меняются местами.

10.2. ПВИ-2: определение, теорема существования.

Пусть S гладкая двусторонняя пов-ть определяемая ур-ем z=f(x,y), ограниченная замкнутой линией L в точках которой определена функция трёх переменных R=R(x,y,z). Выберем определённую сторону этой пов-ти.

Выполняем следующие стандартные действия:

1. Разобьем пов-ть S на n частичных пов-ей _I =(i=)  - диаметр разбиения

2. Выберем произвольную т. M_i (x_i , y_i , z_i) _I и составляем сумму:

(1)

где - площадь проекции i-й элементарной площадки _i на пл. xOy, взятая со знаком «+», если выбранная внешняя сторона пов-ти или что тоже самое угол между вектором нормали к этой пл-ти и осью O_z – острый ; и взятая со знаком «-» если выбранная нижняя сторона пов-ти, т.е. угол между вектором нормали и осью Oz – тупой.

Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при , то он наз. поверхностным интегралом по выбраной стороне S от функции R(x, y, z) по координатам(переменным) x и y и обозначается

(2)

Таким образом (2)

Аналогично определяется ПВИ-2 по координатам x и z от функции Q=Q(x, y, z), если пов-ть S задана ур-ем (3)

А также ПВИ-2 по координатам y и z от функции P=P(x, y, z), если S: x=(x, y)

(4)

если во всех точках пов-ти S опрделены все 3 функции P, Q, R и существуют интегралы (2), (3), (4); то сумма этих интегралов наз. ПВИ-2 общего вида т.е. (5)

Теорема 10.1.( о существовании ПВИ-2)

Если пов-ть S гладкая двусторонняя пов-ть, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны на пов-ти S, то существуют конечные пределы интегральных суммы (2)-(5) и они не зависят ни от способа решения пов-ти S на части, ни от выбора точек на них для составления интегральных сумм.