Лекция №3 Геометрические и физические приложения дви.

3.1 Геометрические приложения дви.

1) Вычисление объёмов пространственных тел.

Согласно геом.смыслу ДВИ (см. л.№1 п.1.2) объём ЦТ, ограниченного снизу замкнутой областью областью D плоскости xOy, сверху плоскостью Z=f(x, y), где функция f(x, y) непрерывная и неотрицательная  (x, y) є D, а сбоку – цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей – границей области D, вычисленной по формуле

V = f(x, y) dx dy (1)

D

Если поверхность определяется уравнением z=f(x,y) (x=(y,z) или y=(x,z)), тогда область D лежит в плоскости yOz (xOz), а формулы для вычисления V такого ЦТ примут вид:

V = (x, y) dy dz (2)

D

V = (x, y) dx dz (3)

D

2) Вычисление s плоской фигуры:

Если в формуле (1) положить f(x,y)1, то

1dx dу =dx dу= S_m (см. л.№1 п1.3.) (4)

D D

Знакомую формулу для вычисления S с помощью ОИ можно получить из формулы (4)

b ₂(x) b ₂(x) b

dx dу= dx  dу =  dxу = ò( j₂(x)- j₁(x)) dx

D а ₁(x) а ₁(x) а

3) Вычисление S куска поверхности замкнутой линией. Рассмотрим в пространстве xOyz, поверхность определяемую уравнением z=f(x,y), если кусок поверхности, ограниченной замкнутой линией проецируется в замкнутую область D и функции f(x,y), f_x(x,y) f_y(x,y) непрерывны в этой области, то площадь S этого куска поверхности определяется формулой

S= òò 1+(f_x(x,y))²+(f_y(x,y))²) dx dу (5)

D

Если x=(y,z), то

S= òò 1+(_y(y,z))²+(_y(y,z))²) dу dz (6)

D

А для уравнения y=(x,z)

S= òòÖ 1+(¢_x(x,z))²+(¢_z(x,z))²) dx dz (7)

D

3.2 Физические приложения двойных интегралов.

1.Масса. Вычисление массы плоской фигуры.

Исходя из физ.смысла ДВИ масса плоской тонкой неоднородной пластины имеющей форму Д, у которой поверхностная плотность δ есть непрерывная функция координат точки δ= δ(x,y)dxdy, определяется формулой :

2.Вычисление статических моментов и координат центра тяжести(центра масс) пластины.

Опр 1. Статическим моментом материальной точки с массой m относительно прямой L наз-ся произведением её массы m на расстояние до этой прямой

На пл. xOy обычно рассматривают статические моменты материальной точки относительно координат осей Ox, Oy которые определяются по ормулам:

x N(x,y)

y

Рассматривая пластину, как систему материальных точек, её статические моменты определяют по формулам:

Если сосредоточить всю массу пластины в её центре тяжести, то её статические моменты найдём как:

Отсюда координаты центра масс(центра тяжести) опр. формулами :

; .

3. Вычисление моментов инерции пластины.

Опр 2. Моментом инерции материальной точки с массой m относительно L наз. произведением массы m на квадрат расстояния до этой прямой.

В системе координат xOy рассматриваются моменты инерции материальной точки относительно осей координат Ox, Oy

; .

и момент инерции материальной точки относительно еачала координат

Рассматривая пластину как систему материальных точек её моменты инерции определяются по формулам:

;

Если пластина Д однородная т.е в каждой точке её поверхностная плотность постоянная , =const, то формулы для определения координат центра тяжести примут вид

;