- •Л.1 двойной интеграл в декатовых координатах.
- •1.1 Основные понятия и определения
- •1.2 Геометрический и физический смысл дви.
- •1.3 Основные свойства дви
- •1.4 Вычисление дви в декартовых координатах
- •Л.2 дви в полярных координатах. Замена переменных в дви.
- •2.1 Замена переменных в дви.
- •2.2 Дви в полярных координатах.
- •Лекция №3 Геометрические и физические приложения дви.
- •3.1 Геометрические приложения дви.
- •1) Вычисление объёмов пространственных тел.
- •2) Вычисление s плоской фигуры:
- •3.2 Физические приложения двойных интегралов.
- •1.Масса. Вычисление массы плоской фигуры.
- •2.Вычисление статических моментов и координат центра тяжести(центра масс) пластины.
- •3. Вычисление моментов инерции пластины.
- •Лекция 4 тройной интеграл
- •4.2 Основные св-ва три
- •4.3 Вычисление три в декартовых координатах
- •Л.5 криволинейные интегралы по координатам II рода – кри-II
- •5.1 Основные понятия и определения кри-II, теорема существования
- •5.2 Основные свойства кри-II
- •Л. 6. Связь между дви и кри. Свойства кри II-го рода связанные с формой пути интегрирования.
- •6.2. Условия (критерии) равенства нулю контурного интеграла.
- •6.3. Условия независимости кри от формы пути интегрирования.
- •Лекция №7 Условия независимости кри 2-го рода от формы пути интегрирования (продолжение)
- •Л.8 Геометрическая и физические приложения кри 2-го рода
- •8.1 Вычесление s плоской фигуры
- •8.2 Вычисление работы переменой силы
- •Лекция№9 Поверхностные интегралы по площади поверхности (пви-1)
- •9.2. Основные свойства пви-1
- •9.3.Гладкие поверхности
- •9.4.Вычисление пви-1 свидением к дви.
- •Л.10. Поверхностные интегралы по координатам (пви-2)
- •10.3. Основные свойства пви-2.
- •10.4. Вычисление пви-2
- •11.1.Формула Остроградского-Гаусса.
- •11.2 Формула Стокса.
- •11.3. Применение пви к вычислению объёмов тел.
- •Лк.12 элементы теории поля
- •12.1 Теор. Поля , осн. Понятия и определения.
- •12.2 Скалярное поле.
- •Лк 13. Векторное поле (вп) и его характеристики.
- •13.1 Векторные линии и векторные поверхности.
- •13.2 Поток вектора
- •Опр 3.Потоком вектора через поверхность s в заданном направлении наз. Пви от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности s и обозначается п.
- •13.3 Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса.
- •13.4 Циркуляция поля
- •13.5 Ротор (вихрь) поля.
- •14. Специальные векторные поля и их характеристики
- •14.1 Векторные дифференциальные операции 1 порядка
- •Произведение на скалярную функцию равно градиенту этой функции: .
- •14.2 Векторные дифференциальные операции II – порядка
- •14.3 Соленоидальное векторное поле и его свойства
- •2.В соленоидальном поле поток вектора поля через замкнутую поверхность s равен 0
- •14.4 Потенциальное (безвихревое) вп и его свойства
- •14.5 Гармоническое поле
- •Л.15 элементы функции комплексного переменного. Комплексные числа(к/ч).
- •15.1. К/ч определение, геометрическое изображение.
- •15.2 Геометрическое представление к/ч.
- •15.3 Операция над к/ч.
- •15.4 Понятие расширенной комплексной z-пл.
- •16.1.Последовательность комплексных чисел определение, критерий существования.
- •16.2Арифметические свойства приделов комплексных чисел.
- •16.3 Функция комплексного переменного: определение, непрерывность.
- •Л.17 Основные элементарные ф.-ции комплексного переменного (фкп)
- •17.1.Однозначные элементарные фкп.
- •Л.18 Дифференцирование фкп. Аналитическая ф-ия
- •18.1. Производная и дифференциал фкп: основные понятия.
- •18.2. Критерий дифференцируемости фкп.
- •18.3. Аналитическая функция
- •Л. 19 интегральное исчесление фкп.
- •19.2(О существов.Ифкп)
- •19.4 Теорема(интегральная ф-я Коши)
- •19.5Теорема(обобщенная ф-ла Коши)
- •Л.20. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении.
- •Л.21. Ряды в комплексной области.
- •21.2 Числовые ряды (чр):
- •21.2 Степенные ряды (ср):
- •21.3 Ряд Тейлора:
- •21.4 Ряд Лорана:
- •Содержание
- •1.1 Основные понятия и определения
- •1.2 Геометрический и физический смысл дви.
19.4 Теорема(интегральная ф-я Коши)
Если ф-я w=f(z) аналит. в односвязной обл.Д, ограничена замкнутым контуром С, а также в точке самого этого контура, то
(7)
Эта ф-ла явл. интегральной ф-лой Коши,а интегралом
Коши:
Она является одной из важнейших в ФКП, и позволяет находить знач. аналит.ф-ции f(z) в любой т.z0 лежашей внутри обл.Д.
19.5Теорема(обобщенная ф-ла Коши)
Если ф-ция w=f(z) аналитической в односвязной обл. D, ограниченная замкнутым контуром С, а так же в точке самого этого контура, то n-ая производная этой ф-ции имеет вид:
(8)
Ф-лы (7) и (8) применяются при вычислении ИФКП, которые подинтегральную ф-цию можно представить в виде отношения аналитической ф-ции f(z) и выражения (z-z0).
Л.20. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении.
Пусть функция w=f(z) аналитична в точке z0 и f’(z0)≠0. Эта функция отображает точку z0 в комплексной плоскости z в точку w0=f(z0) в комплексной плоскости w.
По определению производной в точке z0 можно сказать, что
F’(z0)=
Этот предел не зависит от кривой l, т.к. функция f(z) – аналитическая и w->0 произвольным образом.
∆z=|z-z0| - расстояние между точками z0+∆z и z0
∆w=|w-w0| - расстояние между точками w0+∆w и w0
Величина k представляет собой предел отношения между расстоянием между отображенными точками w и w0 к расстоянию между точками z и z0.
Геометрический смысл модуля производной:
Величина k=|f’(z0)| определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке z0 при отображении ∆w=f(z). Величина k называется коэффициентом растяжения, если модуль |f’(z0)|>1 или коэффициентом сжатия, если |f’(z0)|<1.
Это свойство называется свойством постоянства растяжений в точке.
Пример:
найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции w=, в точке z=3-4i.
Функция w аналитична во всех точках комплексной плоскости z.
w’=()’=z
|w’|z=3-4i|=|z|z=3-4i|=|3-4i|==5>0
Значит, коэффициент растяжения функции равен 5.
Для аргумента производной в точке z0 имеем:
argf’(z0)=
=arg ,где
Φ – угол наклона к действительной оси касательной в точке w0 к кривой L.
φ - угол наклона касательной к действительной оси в точке z0 к кривой l.
Φ=φ+argf’(z0)
Геометрический смысл аргумента производной:
Величина argf’(z0) – угол, на который нужно повернуть касательную в точке z0 к кривой l, чтобы получить направление касательной в точке w0 к кривой L – образу кривой l при отображении w=f(z).
Если выбрать две кривые l1 и l2, проходящие через точку z0 и найти их образы L1 и L2 при отображении w=f(z), то угол
следовательно, угол между кривыми L1 и L2 – образами кривых l1 и l2 равен углу между их праобразами l1 и l2. Это свойство сохранения величин углов и направления их отсчета называется свойством сохранения (консерватизма) углов в точке z0.
Отображение w=f(z), обладающее свойством сохранения углов и постоянства растяжений в точке z0 называется конформным отображением.
Вывод : Если функция w=f(z) – аналитична в точке z0 и f’(z0)≠0, то такое отображение w=f(z) конформно в точке z0.
Опр.2 : Отображение w=f(z) называется конформным в области D, если оно конформно в каждой точке этой области.