10.3. Основные свойства пви-2.

1. ПВИ-2 меняет знак при изменении стороны пов-ти(т.к. при этом изменяется знак площади проекции элемента пов-ти на координатную пл-ть)

2. Постоянный множитель можна выносить за знак ПВИ-2

3. ПВИ-2 от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых

4. Если пов-ть S разбита на части, то ПВИ-2 на всей пов-ти равен сумме интегралов по её частям

5. Если S – цилиндрическая пов-ть с образующими || оси Oz(Ox, Oy) то

10.4. Вычисление пви-2

Теорема 10.2. (о сведении ПВИ-2, к ДВИ )

Вычисление ПВИ-2: по той или иной стороне пов-ти S, задаваемой уравнением S: z=f(x, y).

Свод ДВИ по области S_xy – проекцией пов-ти S на пл-ть xOy по формуле:

(6)

где знак «+» выбирается в зависимости от выбранной стороны пов-ти S

Доказательство.

По определению (7)

Выберем ту сторону пов-ти S, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол, т.е. тогда >0.

При этом учтём, что z_i = f(x_i , y_i), тогда (7) запишется ввиде = (8)

равно пределу интегральной суммы функции двух переменных R(x, y) , f(x, y)

Если же выбрать другую сторону пов-ти , т.е. нижнюю, то и <0, тогда ПВИ-2 от функции (9)

Объединяя формулы (8),(9) окончательно получим :

(10)

Вывод: Для сведения ПВИ-2

, где S : z=f(x, y) к ДВИ по обл. S_xy – проекции S на пл-ть xOy нужно в подинтегральную функцию вместо первой z подставить f(x, y) и выбрать знак ДВИ согласно с выбранной в ПВИ-2 стороной пов-ти S .Аналогично : y=(x, y) => (11)

x=(y,z) => (12)

В формулах (10)-(12) знак перед двойным интегралом выбирается по следующему правилу:

(10): «+», если - острый; «-», если - тупой

(11): «+», если - острый; «-», если - тупой

(12): «+», если - острый; «-», если - тупой

ПВИ общего вида вычисляется с использованием всех трёх формул (10)-(12) и при этом пов-ть S проецируется на каждую из трёх координатных плоскостей.

Лекция № 11.Связь между ПВИ, ТРИ и КРИ.

11.1.Формула Остроградского-Гаусса.

Формула Остроградского-Гаусса связывает ТРИ по некоторой пространственной области V с ПВИ по замкнутой поверхности S, ограничивающей данную область.

Теорема 11.1. Если функция Р(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими ИП-1 в пространственной области V, то имеет место формула:

(1)

S-замкнутая поверхность ограничевающая телоV и интеграл по поверхности S вычисляется по ее внешней стороне. (1)-формула Остроградского-Гаусса.

Пусть пространственная область V ограничивает снизу гладкой поверхностью S₁:z=f₁(x,y);сверху гладкой поверхностью S₂:z=f₂(x,y), причем функция f₁(x,y) и f₂(x,y) непрерывны в области D –проекции тела V на xoy; сбоку цилиндрическая поверхность S₃ с образующей параллельной oz инаправляющей-границей обл.D.

Вычислям ТРИ:

= (2) ДВИ в правой части (2) можно рассмотреть как ПВИ-2 от ф.R(x,y,z)по внешней стороне поверхности S1и S2соответственно

Действительно,

Тогда (2) запишется в виде: (3)

Доставим к правой части (3) равный нулю ПВИ:

Тогда:

(4)

Аналогично: (5)

(6)

Сложив правые и левые части (4),(5) и (6) получим: формула

Остроградского-Гаусса

S-замкнутая поверхность, ограничивающая тело V.

Замечания:

1. Формула О-Г остаётся справедливой и для произвольной области V,т.к. её всегда можно разбить на подобласти рассматриваемого типа.

2. Формула О-Г является аналогом формулы Грина, которая связывает ДВИ по плоской области D с КРИ по контуру этой области.

3. Формулу О-Г удобно использовать для вычисления ПВИ-2 по замкнутым поверхностям.