Л.21. Ряды в комплексной области.

21.2 Числовые ряды (чр):

Пусть z₁, z₂,…, z_n - последовательность комплексных чисел, где

(z_nC, nN)

Опр 1. Выражение видаz₁+z₂+…+z_n +…=(1)называется ЧР в комплексной области, причем z₁, z₂,…, z_n – члены числового ряда, z_n – общий член ряда.

Опр 2. Сумма n первых членов комплексного ЧР:

S_n=z₁+z₂+…+z_n называется n-ной частичной суммой этого ряда.

Опр 3. Если существует конечный предел при n последовательности частичных сумм S_n числового ряда, то ряд называется сходящимся, при этом само число S называется суммой ЧР. В противном случае ЧР называется расходящимся.

Исследование сходимости ЧР с комплексными членами сводится к исследованию рядов с действительными членами.

Необходимый признак сходимости:

сходится

Опр4. ЧР называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей членов исходного ЧР: |z₁|+|z₂|+…+| z_n |+…=

Этот ряд называется модульным, где |z_n|=

Теорема (об абсолютной сходимости ЧР): если модульный ряд , то сходится и ряд .

При исследовании сходимости рядов с комплексными членами применяют все известные достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов с действительными членами, а именно, признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

21.2 Степенные ряды (ср):

Опр5. СР в комплексной плоскости называется выражение вида:

c₀+c₁z+c₂z²+…+c_nzⁿ=, (4) где

c_n – коэффициенты СР (комплексные или действительные числа)

z=x+iy – комплексная переменная

x, y – действительные переменные

Также рассматривают СР вида:

c₀+c₁(z-z₀)+c₂(z-z₀)²+…+c_n(z-z₀)ⁿ+…=,

Который называется СР по степеням разности z-z₀ , где z₀ фиксированное комплексное число.

Опр 6. Множество значений z, при которых СР сходится называется областью сходимости СР.

Опр 7. Сходящийся в некоторой области СР называется абсолютно (условно) сходящимся, если сходится (расходится) соответствующий модульный ряд.

Теорема (Абеля): Если СР сходится при z=z₀0 (в точке z₀), то он сходится, и притом абсолютно для всех z, удовлетворяющих условию: |z|<|z₀| . Если же СР расходится при z=z₀,то он расходится при всех z, удовлетворяющих условию |z|>|z₀|.

Из теоремы следует, что существует такое число R, называемое радиусом сходимости СР, такое, что для всех z, для которых |z|<R– ряд сходится и притом абсолютно, а для всех z, для которых |z|>R – СР расходится.

Областью сходимости СР является внутренность круга |z|<R с радиусом R и центром в начале координат на комплексной плоскости z. На границе этой области, т.е. на окружности |z|=R вопрос о сходимости СР решается дополнительным исследованием.

Если R=0, то СР сходится только в точке z=0.

Если R=, то областью сходимости СР является вся комплексная плоскость.

Областью сходимости СР является внутренность круга |z-z₀|<R с центром в точке z₀ и радиусом R.

Радиус сходимости СР определяется формулами:

R= или R=

21.3 Ряд Тейлора:

Пусть функция w=f(z) аналитична в круге z-z₀<R, тогда в этом круге ее можно единственным образом представить в виде СР:

f(z)= =C₀+c₁(z-z₀)+c₂(z-z₀)²+…+c_n(z-z₀)ⁿ+…(*)

коэффициенты которой вычисляются по формуле:

c_n= , n=0,1,2,…

Такой СР (*) называется рядом Тейлора для функции w=f(z) по степеням z-z₀ или в окрестности точки z₀. С учетом обобщенной интегральной формулы Коши коэффициенты ряда (*) Тейлора можно записать в виде:

C_n= , где

C – окружность с центром в точке z₀, полностью лежащая внутри круга |z-z₀|<R.

При z₀=0 ряд (*) называется рядом Маклорена. По аналогии с разложениями в ряд Маклорена основных элементарных функций действительного переменного можно получить разложения некоторых элементарных ФКП:

1). e^z = 1+

2). sin z = z-

3). cos z = 1-

Разложения 1-3 справедливы на всей комплексной плоскости.

4). (1+z)^ = 1+

5). ln(1+z) = z-

Разложения 4-5 справедливы в области |z|<1.

Подставим в разложение для e^z вместо z выражение iz:

e^iz=1+

(формула Эйлера)