Л.1 двойной интеграл в декатовых координатах.

1.1 Основные понятия и определения

Рассмотрим на плоскости ХОУ замкнутую область Д, т.е. такую область, которая ограничена замкнутой линией Г границей области, причем точки лежащие на границе принадлежат Д.

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в области Д.

1. Разобьем область Д произвольным образом на n-равных областей (площадок) Д_i(i=1,n), площади которых обозначим через ∆Si. Наибольшее расстояние между двумя точками каждой площадки назовем диаметром площадки. А наибольший среди них – диаметром разбиения области Д.

λ=max{λi}

2.Выберем на каждой площадке Дi произвольную точку Mi(Xi,Yi), умножим значение функции в этой точке f(Xi,Yi) на ∆Si и составим сумму всех таких произведений.

f(X1,Y2)* ∆S1+ f(X2,Y2)* ∆S2+……+f(Xn,Yn)* ∆Sn= (1)

Опр.1 сумма (1) наз. интегральной суммой для функции f(X,Y) в области Д.

Опр.2 если существует конечный предел интегральной суммы (1) при n->∞,так что диаметр разбиения λ->0 , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д и обозначается:

где

-символ двойного интеграла

Д-область интегрирования

f(x,y)-подынтегральная функция

х,у – переменные интегрирования

ds –элемент площади

Таким образом

Теорема1: (Достаточное условие существования двойного интеграла) если функция z=f(x,y) непрерывна в рассматриваемой области Д, то существует конечный предел интегральной суммы (1) (т.е. ДВИ) и этот предел не зависит от способа разбиения области Д на площадки Дi и от выбора точек на них для составления интегральной суммы.

Из теоремы 1 следует, что разбиение области Д на площадки можно осуществить самым простым способом – линиями параллельными координатным осям.

Тогда площадка Дi-прямоугольник, со сторонами ∆Х, ∆У. ∆S=∆x*∆y,т.к. для независимых переменных х и у, ∆х=dx, ∆y=dy.

Ds=∆S=∆x*∆y=dx*dy.

1.2 Геометрический и физический смысл дви.

Задача 1:

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью Z=f(x,y)=>0, снизу- областью Д плоскости X0Y, а сбоку – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси OZ, а направляющей служит граница области D.

Такое тело наз. цилиндрическим.