Л.17 Основные элементарные ф.-ции комплексного переменного (фкп)

17.1.Однозначные элементарные фкп.

К основным однозначным ФКП ω=f(Z) относятся:

-степенная ω=Zⁿ (nєN);

-показательная e^z;

-тригонометрическая sin Z ,cos Z ,tg Z, ctg Z и гиперболические ф.-ции sh Z, ch Z, th Z, ctg Z.

17.1.1. Степенная ф.-ция : ω=Zⁿ .

Если nєN, то ω=Zⁿ , наз. ФКП определяемой формулой Zⁿ=ρⁿ (cos nφ+isin nφ) – (1)

17.1.2. Показательная ф.-ция : ω=e^z

Показательной наз.- ФКП определенная формулой ω=e^z =e^x+iy=e^x(cosy+isiny) - (2)

Если I_mz=y=o, т.е. Z=x+i0=x –действительно, то E^z – показательная ф.-ция действ. переменного e^x.

ω= e^z(ZєC) св.-ва :

1. e^z1e^z2=e^{x1 iy1} e^{x2 y2} = | (Z)…| =e^x1(cos y₁+isiny₁)* e^x2(cos_y2+isin_y2)=e^x1+x2(cos(y₁+y₂)+isin(y₁+y₂)=e^{(x1+x2)+i(y1+y2)}=e^z1+z2

2. (e^z)ⁿ=e^zn , (nєZ)]

3. |e^z|=|e^x(cosy+isiny)|=√(e^xcosy)²+(e^xsiny)²=e^x√cos²y+sin²y=e^x≠0

4. e^z1:e^z2=e^z1-z2

5. e^z+2πi=e^z*e^2πi=e^z(cos2π+isin2π)=e^z

Вывод: ф.-ция ω=e^z периодична с периодом 2πi

17.1.3. Тригонометрические ф.-ции.

Связь между показательной и тригонометрическими ф.-циями устанавливает ф.-ла Эйлера.

E^iz=cosz+isinz - (3)

Подставим вместо Z(-Z): e^-iz=cos(-Z)+isin(-Z)=cosZ-isinZ - (4)

|(3)+(4)……|=cosZ=e^iz+e^-iz/Z - (5)

|(3)- (4)…… |=sinZ=e^iz-e^-iz/2i - (6)

tg Z=sinZ/cosZ Z≠π/2 +2πk - (7)

ctgZ =cosZ/sinZ Z≠πk, kєZ - (8)

Замечание : ф.-ции sinZ и cosZ в комплексной плоскости Z не ограничены :

Lim sinZ=∞

z->±∞

Lim cosZ=∞

z->±∞

17.1.4. Гиперболические ф.-ции (shZ, chZ, thZ, cthZ)

Гиперболическими наз. ФКП определяемые ф.-ами :

shZ=e^z-e^-z/Z -(10)

chZ=e^Z+e^-Z/Z - (11)

tgZ= shZ/chZ -(12)

ctgZ=chZ/shZ -(13)

Заменяя в ф.-лах (9)-(13) Z на iZ получаем ф.-лы, связывающие гиперболические и тригонометрические ф.-лы :

sh iZ =i sinZ

sh Z=-I sinZ

ch iZ =cosZ

chZ= coz iZ (14)

th iZ=shZ/chi Z=i tgZ

thZ =-i tg iZ

cth iZ=chZ/shi Z=-i ctgZ

cthZ=i ctg iZ

Пользуясь ф.-ами (14) можно получить ряд ф.-ул., связывающих тригонометрические ф.-лы :

1. cos²z+sin²z=ch iZ+shi Z/i=ch iZ-sh iZ=1

2. ch2Z=ch²Z+sh2Z

3. sh2z=2shZ *chZ

4. sh(-Z)=-shZ

5. ch(-Z)=chZ

shZ и сhZ периодические с периодом 2πi.

17.2. Многозначные ФКП.

Многозначные ФКП как правило явл. обратными к рассмотренным однозначным ФКП или явл. их обобщениями.

17.2.1. Логарифмическая ф.-ция

Логарифмическая ф.-ция ω=LnZ, где Z≠0, определяется как ф.-ция обратная показательной .

По определению логарифмом числа “Z” наз. Такое число “ω” , что e^ω =Z.

Как было показано в п.17.1.2. , показательная ф.-ция е^ω=Z≠0 , следовательно ω=LnZ определена на всей Z- плоскости за исключением точки Z=0.

Найдем выражение для ω:

e^ω= Z=> ω=U+iU => U=lnρ=ln |Z| => ω=ln|Z|+i ArgZ

Z=ρ e^iφ V=argZ

=ln|Z|+i (argZ+2πk)

ω=LnZ=ln|Z|+i(argZ+2πk) - (16)

Логарифмическая ф.-ция φ=LnZ обладает следующими св.-вами :

1. Ln (Z₁+Z₂)=LnZ₁+Lnz₂

2. Ln(Z₁-Z₂)=LnZ₁-LnZ₂

3. Ln (Zⁿ)=n LnZ

4. Ln( )=1/n LnZ

17.2.2. По определению arcsin числа Z наз. число ω,

такое что sin ω=z и обозначается Arcsin Z

ω=Arcsin Z

Z=sin ω=>Z=e^iω-e^-iω/2i=>2iz=e^iω-1/e^iω=>e^2iω-2ize^iω-1=0

Пусть e^iω=t≠0

T²-2iZt-1=0

D=(-2iZ)²-4*1*(-1)=-4Z²+4

t_1,2=2iZ+=iz+

e^iw=iZ+;

iω=Ln(iZ+ );

ω=1/nLn (iZ+);

Arcsin Z=-iLn(iZ+);

Arccos Z=-i Ln (Z+);

Arctg Z=- i/2 Ln i-Z/Z+1

Замечание : т.к. обратные тригонометрические формулы выражаются через Ln Z ,то они явл. многозначными.

17.2.3.Обобщенная степенная показательная ф.-ция

Ф.-ция ω=Z₀, где a=α+iβ- некоторое комплексное число, определяемое ф.-лой ω=e^alnZ(где Z≠0)-наз. Обобщенной степенной ф.-цией, а ω=e^alnZ-её главное значение.

Ф.-ция ω=a^z,где ZєC, определяемая ф.-лой:

ω=Z^a , где a=α+iß

ω=e^aLnZ (Z≠0) -обобщенная степенная ф.-ция

а ф.-ция ω=e^aLnz- наз. главным значением ф.-ции.