5.2 Основные свойства кри-II

Сформулируем свойства для краткости только для КРИ по х

1. При изменении направления пути интегрирования знак КРИ меняется на противоположный:

2. с-const

3.

4. Если АВ разбить точкой на 2 части, то КРИ по всей длине будет равен сумме КРИ по ее частям.

5. КРИ по замкнутому контуру с выбранным направлением обхода не зависит от выбора начальной точки, т.е. с которой начинается обход

Доказательство:

т.к. равны правые части то равны и их левые части.

5.3 Вычисление КРИ – II для различных форм задания дуги АВ.

5.3.1 Параметрическое задание пути интегрирования

Пусть дуга АВ задана параметрическими уравнениями. АВ: x=x(t), y=y(t) (), где функции x(t), y(t) – непрерывны вместе со своими производными на , причем точке А соответствует значение параметра , а точке В - , тогда:

Аналогично:

Эти фор. наз. формулами сведения КРИ – II к ОИ.

5.3.2. Явное задание кривой интегрирования

Если дуга АВ задана уравнением у=у(х), где , причем функции у(х) и y’(x) непрерывны на отрезке АВ, а точке А соответствует x=a, точке В – x=b, то приняв за параметр t переменную х (х=t, y=y(t)), запишем формулу, аналогичную формуле (7)

Аналогично АВ: x=x(y), , получим:

Л. 6. Связь между дви и кри. Свойства кри II-го рода связанные с формой пути интегрирования.

1. Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между ДВИ по области Д и КРИ по контуру этой области.

Теорема 6.1: если функции f(x,y) и f(x,y) определены и непрерывны в месте со своими частными производными и в области Д в плоскості XOY ограниченной замкнутой линией (контура) Г, то справедлива формула: (1) - формула Грина, выражающая связь между ДВИ и КРИ.

Доказательство:

Проведем доказательство для правильной области Д на плоскости ХОУ. Пусть, например

Покажем, что (2) для этого в левой части перейдем к повторным интегралам

(**)

Преобразуем правую часть (*)

Так как равны правые части в формулах (*) и (**), то равны и левые части этих формул равны

(3)

Аналогічно считая , то полу чим (4).

Вычтем из (4) (3) .

Замечание: формула Грина остается справедливой и для произвольной области, т. к. ее всегда можно представить в виде объединения правильных подобластей. ,

Запишем формулу Грина для Д₁ и Д₂: (5)

(6)

Пример: вычислить КРИ , где

6.2. Условия (критерии) равенства нулю контурного интеграла.

Теорема 6.2. Если во всех точках области Д ограниченной замкнутой линией контура Г функции P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны вместе со своими частными производными: Q^I(x) и P^I(y), то КРИ по любому замкнутому контуру Г_о, который лежит в области Д равен нулю, тогда и только тогда, когда во всех точках области Д, ЧП Q^Ix и P^Iy равны между собой.

Пример: Г: x² + y² = R²

.

6.3. Условия независимости кри от формы пути интегрирования.

Опр. 1. Если значение КРИ остается одним и тем же по всем возможным гладким кривым, которые лежат в данной области Д и соединяют конечные точки кривой интегрирования, то говорят, что КРИ не зависит от формы пути интегрирования.

Независимость КРИ от формы пути интегрирования обозначают: , где С(А,В) значение КРИ, которое зависит только от расположения точек А и В.

Теорема 6.3. (Необходимое и достаточное условие независимости КРИ от формы пути интегрирования): для того чтобы КРИ в области Д независил от формы пути интегрирования необходимо и достаточно чтобы в каждой точке области Д выполнялось условие:

(1)

Докажем достаточность этой теоремы

Рассмотрим в области Д произвольный замкнутый контур Г^I, проходящий через точки А и В. Запишем для данного контура формулу Грина

Последнее равенство и означает, что КРИ не зависит от формы пути интегрирования, чтд.

Для пространственного интеграла КРИ: , где АВ – пространственная кривая во всех точках которой Р = Р(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z) непрерывны вместе со своими ЧП, Условие независимости КРИ запишется следующим образом , , .

Из теории функции нескольких переменных известно, что полный дифференциал (ПД) функции U = U(x,y) имеет вид: .

Теорема 6.4. (критерий полного дифференциала (ПД)):

Выражение Pdx + Qdy в области Д представляет собой ПД некоторой функции U = U(x,y) тогда и только тогда, когда во всех точках области Д выполняется условие:

Докажем необходимость

(2)

По определению

По условию

Т.к. по условию теоремы функции и - непрерывны, то будут непрерывны и и , тогда по теореме о равенстве смешанных производных имеет , чтд.

Теорема 6.5. (условие независимости КРИ II рода от формы пути интегрирования на языке полного дифференциала)

Для того чтобы КРИ не зависит от формы пути интегрирования в области Д, в которой функции и непрерывны вместе со своими ЧП, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выражение Pdx + Qdy являлось ПД функции U = U(x,y).

Доказательство этой теоремы вытекает из теоремы 6.1 и 6.2.

Покажем, что если КРИ не зависит от формы пути интегрирования, которая соединяет точки А и В, то его значение равно разности значений функции U(x,y) в точках В и А для которой выражение Pdx + Qdy = ПД.

(4) – обобщенная формула Ньютона Лейбница для КРИ – от полного дифференциала.

.

Чтобы найти функцию U = U(x,y), по ее ПД du = Pdx + Qdy, где , поступают следующим образом: интегрируют du по ломаной звенья которой параллельны осям координат и которая соединяет произвольную фиксированную точку А с координатами А(x₀,y₀) и произвольную точку M(x,y).

1). (5)

2).

(6)

Замечание: обычно в качестве начальной точки А(х₀,у₀) берут начало координат 0(0;0).

Во многих случаях функцию U по ее полному дифференциалу du = Pdx + Qdy можно найти иначе.

1). (при интегрировании считаем у=const)

2). (при интегрировании считаем х=const), где и - неизвестные функции.

Берем все известные члены из 1-го выражения и дописав к ним недостающие члены, зависящие только от у из 2-го выражения, получим функцию U.

Полученное решение легко проверить, если функция U найдена верно, то .

Пример: проверить, что данное выражение U(x,y) является полным дифференциалом, и найти функцию U.

Решение: Из условия имеем:

Значит выражение - является полным дифференциалом функции U.

Найдем эту функцию U = U(x,y).

Все условия, сформулированные выше (теорема 6.1, 6.2, 6.3) можно обобщить на случай когда КРИ вычисляется по пространственной кривой АВ.

, тогда

, .

Функция U = U(x,y,z) определяется следующим образом (аналогично) функции (5) и (6).

, где т. (x₀,y₀,z₀) выбирается так чтобы записанные интегралы наиболее упрощались: чаще всего (0,0,0).

Пример: выяснить зависит ли КРИ от формы пути интегрирования и вычислить его.

Решение:

Следовательно, заданный КРИ не зависит от пути интегрирования.

Вычислим: для чего найдем функцию U.

.