Лекция 4 тройной интеграл

4.1 ТРИ:основные понятия. Теорема существования.

Аналогично тому ,как ДВИ явл. обобщением ОИ на случай ф-ии 2-х переменных , когда область интегрирования явл. замкнутой областью плоскости так и ТРИ явл. обобщением ОИ на случай ф-ии трех переменных ,когда обл. интегрирования – замкнутая область пространства. Поэтому схема построения ТРИ будет такая же как и ДВИ.

Пусть обл. V пр-ва xoyz задана непрерывная ф-я трех переменных u=f(x,y,z)

a)Разобьем обл. V сетью поверхностей на n частичных областей Vi(i=1,n) с объемами ΔVi;наибольший из диаметров обл. Vi обозначим λ=max diam (Vi)

б)Выберем произвол т.Мi(x_i,y_i,z_i) принадл. Vi сост. Сумму (1) интеграл. сумма для ф-ции f(x,y,z) по обл. V

Опред.1 Если сущ.конечный предел интеграл суммы (1),когда n->∞(λ->,т.е. каждая частичная область “стягивается в.т.),то он наз. ТРИ от функции f(x,y,z) по обл. V

(2)

,где -символ ТРИ

V – обл.интегрирования

F(x,y,z)-подинтегральная ф-ия

x,y,z - переменные интегрирования

dV – элемент объема

Теорема 4.1

Если ф-я u=f(x,y,z) непрерывна в замкнутой области V, то существует конечный предел интегр. суммы, т.е. ТРИ и этот предел не зависит от способа разбиения обл. V на части и выбора точек в них для составления инт. суммы.

Из теоремы 4.1 следует, что dv=dx*dy*dz, тогда

4.2 Основные св-ва три

1)

2) +-+-…+-)dv=dv+-dv+-…+-dv

3) dv=dv+dv, V=

4) dv==

4.3 Вычисление три в декартовых координатах

Сводится к последовательному вычислению трёх ОИ (по каждой переменной)

Опр.2 Пространственная область наз. Правильной в направлении оси Оz, если:

1. Она ограничена снизу-поверхностью z=, сверху –поверхностью z=, причём, ф-ции z= и z= непрерывны в области D-проекции обл. на плоскость xOy и . ,сбоку- цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси Oz.

2. Область D с xOy –правильная область.

3. Любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси Oz пересекает границу обл. только в двух точках.

Пусть D=Dy={(x,y)| axb, (x)}, тогда axb, , z(x,y)z(x,y)}

==/=I(x,y)/===

Л.5 криволинейные интегралы по координатам II рода – кри-II

5.1 Основные понятия и определения кри-II, теорема существования

КРИ является обобщением понятия ОИ на случай, когда область интегрирования – не отрезок оси ОХ или ОУ, а дуга кривой на плоскости или в пространстве.

Пусть на плоскости ХОУ задана непрерывная кривая L и функция P(x,y), которая определена во всех точках дуги АВ этой кривой L.

- Разобьем дугу АВ в направлении от А до В произвольным образом n частичных дуг с длинами .

Обозначим через наибольшую из длин всех частичных дуг, т.е. , которую называют диаметром разбиения дуги АВ на части.

- Выберем на каждой частичной дуге произвольную точку и составим сумму:

(1)

Где ()- проекции частичных дуг на ось ОХ.

Сумма (1) наз. интегральной суммой для функции P(x,y) по переменной х.

Опр.1: если сущ. конечный предел интегральной суммы (1), когда (), то он наз. криволинейным интегралом по переменной (по координате) х от функции P(x,y) по дуге (по кривой) АВ в направлении от А до В и обозначается:

Таким образом:

(2)

Где АВ – путь интегрирования (А), (В)- пределы интегрирования, P(x,y)- подынтегральная функция, х – переменная интегрирования.

Аналогично можно ввести КРИ по переменной у от функции Q(x,y):

(3)

Где (), где - проекции частичных дуг на ось ОУ.

Опр.2: Сумма интегралов и наз. КРИ по координатам общего вида или КРИ-II, т.е. (4)

Опр.3 Если начальная и конечная точки дуги АВ совпадают, т.е. АВ- замкнутый контур Г, который не пересекает сам себя, то такие КРИ наз. КРИ по замкнутому контуру или контурными интегралами и обозначаются:

Для обхода по замкнутому контуру сущ. 2 возможных варианта по часовой стрелке и против.

Опр.4 Направление обхода замкнутого контура считается положительным (отрицательным), если он осуществляется против (по) часовой стрелке, т.е. так что при обходе по контуру область ограниченная этим контуром остается слева (справа).

При положительном направлении обхода в символе КРИ опускают

Пусть дуга АВ ил и замкнутый контур Г заданы в параметрической форме, м.е. с помощью двух уравнений x=x(t), y=y(t), где

Теорема 5.1. (О существовании КРИ-II):

1. функции x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы на отрезке , т.е. АВ- гладкая кривая

2. функции P(x(t),y(t)) и Q(x(t),y(t)) как функции t непрерывны на , то КРИ –II сущ., т.е. существуют конечные пределы интегральных сумм и они не зависят от способа разбиения дуги АВ на части и от выбора точек на них для составления интегральных сумм.

Если АВ - пространственная кривая в точках которой определены функции трех переменных P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) то все изложенное можно обозначить: