Л.2 дви в полярных координатах. Замена переменных в дви.

2.1 Замена переменных в дви.

Метод замены переменной применяемый к вычислению ОИ и позволяющий заданный интеграл свести к табличному или более простому интегралу применяется и к вычислению ДВИ ,однако он усложняется тем , что подходящие подстановки теперь нужно выполнять не для одной ,а для двух переменных

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области Д плоскости xOy,тогда существует интеграл:

I=∫∫ f(x,y)dxdy

Д

Предположим ,что в этом интеграле хотим перейти от старых переменных х ,у к новым U V с помощью формул. Где ф-ции x(U,V) и y(U,V) опр. в замкнутой обл. Д* в системе координат U O* V и которые каждой точке М*(U,V) принадлежит Д* ставят в соответствие одну и только одну точку М в обл. Д.

Опр.1 Определитель 2 порядка зависящий от переменных U ,V

X’U X’V

I=I(U,V )= Y’U Y’V

Наз-тся функциональным опр. функции (U,V) и y(U,V) или Якобианом преобразованием.

Теорема 2.1 Если ф-ция z=f(x,y) непрерывна в обл. Д ,а ф-ция

F(U,V)=f(x(U,V),y(U,V)) в обл. Д

- Частные производные непрерывны в обл. Д*;

- Якобиан I(U,V)≠0 внутри обл. Д*

Д*(V (U,V))Д*,то справедливо ф-ла

Вывод чтобы в интеграле перейти от старых переменных x,y к новым U,V нужно старую область интегрирования D заменить соответствующей ей новой обл. D* элемент площади dxdy заменить на элемент площади в координатах U,V подставить в f(x,y) вместо x,y соответствующее формулы.

Опр.2 Выражение называется элементом площади в координатах U,V.

2.2 Дви в полярных координатах.

Полярная система координат на плоскости задается точкой О - полюсом и лучом ОР- полярной осью.

ρ М(ρ,φ)

φ

о р

тогда положение произвольной точки М плоскости однозначно определена ее полярными координатами(ρ,φ),

где ρ- полярный радиус, расстояние от О до М (0≤ρ<+),

- полярный угол на которую нужно повернуть полярную ось против часовой стрелки чтобы совместить ее с ОМ.

Если совместить декартовую систему координат хОу и полярную систему ρОφ так чтобы их начало совпадало , а полярная ось Ор лежала на оси Ох то переход от декартовым к полярным осуществляется по формулам

, а от полярных к декартовым по формулам

Пусть при вычислении ДВИ оказалось необходимым заменить декартовые координаты х,у полярными ρ,φ

Вычисления этого преобразования считая U=ρ, φ=V

Таким образом в полярных координатах определяется так

где замкнутая область в полярной системе координат соответствует области D.

Теорема2.2 О сведении ДВИ в полярных координатах к повторным интегралах.

ОПР.3 Замкнутая область Dρ в полярной системе координат ρОφ наз. правильной по прямой ρ если она ограничена двумя лучами и дугами двух непрерывных прямых и. Причем любой путь проходящий через внутреннюю точку М области пересекает границу этой области в двух точках.

ОПР.4 Замкнутая область в полярной системе координат ρОφ наз. правильной по φ, если она дугами двух концентрических окружностей ии дугами двух непрерывных кривых и, причем любая окружность проходит через внутреннюю точку М пересекает эту границу в двух точках.

д={ , (, ₁())₂()}

Дуги кривых ₁() ₂() наз-ся первым и вторым от полярной оси .

Теперь сформулируем теорему: ДВИ по обл. Д можно найти вычисление ОИ по переменной от ОИ по переменной по ф-ле:

Замечание 1 Переходим к полярным координатам целесообразен тогда когда Ур-я границ обл. Д или подынтегральная ф-ция содержат выражения вида:

Х²+у², arctg y/x, arcctg x/y, arcsin y/_x²_+y² , arccos x/_x²_+y²

а обл. интегрирования Д ограничена дугами окружностей и лучами или кольцо или их части .

Замечание2 Если Д- не явл. правильной ни по ни по то ее нужно представить виде объединения правильных обл. разбив токовые координатными прямыми.

=const(конец окружности)

=const(лучи сначала в т.О)