1.4 Вычисление дви в декартовых координатах
Пусть
область интегрирования ограничена
двумя непрерывными кривыми(
) двумя прямыми (x=a,x=b),
причем
Такая область Ду наз. правильной в направлении оси ОУ.
любая прямая , проходящая через любую точку М области Ду пересекает границу области только в 2 точках.
Пусть
область интегрирования ограничена
двумя непрерывными кривыми
и двумя прямыми у=с и y=d,
причем
Такая
область Дх наз. правильной
в направлении оси ОХ.
причем любая прямая проходящая через внутреннюю точку М пересекает границу этой области только в двух точках.
Область Ду(Дх) представляет собой разность двух криволинейных трапеций с одним и тем же основанием на оси ОХ(ОУ).
Теорема2: (о сведении ДВИ к повторному интегралу) ДВИ по области Ду можно вычислить сведением к ОИ по переменной х от ОИ по переменной у, по формуле:
(6)
ДВИ по области Дх можно вычислить сведением к ОИ по переменной у от ОИ по переменной х.
(7)
Доказательство:
Рассмотрим
доказательство этой теоремы для случая,
когда область интегрирования есть Ду,
т.е. правильная в направлении оси ОУ. А
функция Z=f(x,y)=>0
Рассмотрим цилиндрическое тело ограниченное сверху поверхностью Z=f(x,y), снизу областью Ду, и боковой цилиндрической поверхностью, с образующей параллельной оси z и направляющей границы Ду.
Согласно геометрическому смыслу ДВИ объем этого ц.т. определяется формулой:
Vц.т.=
(8)
С другой стороны, при изучении геометрических приложений ОИ было показано что если известны площади поперечных сечений S(x) тела плоскостями перпендикулярными оси ОХ, то объем эжтого тела определяется формулой:
(9),
где
S(x)-непрерывная функция, которая для каждого фиксированного х выражает площадь поперечного сечения тела плоскотью перпендикулярной оси Х.
Построим сечение этого Ц.Т. плоскостью Х=Х0, перпендикулярной оси.
В
сечении получим криволинейную трапецию
MNPQ,
которая ограничена сверху кривой
z=f(X0,Y)
слева и справа вертикальными отрезками
MQ
и NP,
а снизу отрезком MN,
причем М(Х0,
)
,N(X0,
).
Площадь этой криволинейной трапеции можно найти с помощью ОИ.
(10)
имеем
(11)
Подставим (11) в (9)
(12)
Сопоставляя формулы (8) и (12) окончательно получим:
В случае если область интегрирования есть Дх рассекая это Ц.т. плоскостью У=У0, аналогично получим:
Замечания:
1.Если область Д правильная в обоих направлениях, то можно применять любую из формул (6) или (7)
2. Если область Д не является правильной ни по х ни по у , то ее нужно разбить на правильные подобласти прямыми параллельными осям координат.
3. Формулы (6) и (7) остаются в силе когда никакие ограничения на функцию Z=f(x,y) не накладываются.
Интегралы, стоящие в правых частях формул (6) и (7) наз. повторными интегралами. Интегралы в квадратных скобках – внутренними. А интегралы от них - внешними.
Внешний интеграл всегда имеет постоянные пределы интегрирования и берется после вычисления внутреннего.
При вычислении внутреннего интеграла переменная не совпадающая с переменной интегрирования считается постоянной величиной.