16.1.Последовательность комплексных чисел определение, критерий существования.

Пусть {a_n}, {b_n} – последовательность действительных чисел. Каждой упорядоченной паре: (a_n , b_n) поставим в соответствие комплексное число z_n = a_n+ b_ni.

Опр1. Множество комплексных чисел {z_n} (n € N), таких что Rez_n = a_n, Imz_n= b_n, расположэных в порядке возростания их номеров, называется последовательностю комплексных чисел.

Последовательность комплексных чисел щитается заданной, если извесна формула его общего члена, при этом a_n и b_n – действительные функции натурального аргумента n.

Опр2.Число с € С – называется приделом последовательности комплексных чисел, если для любого έ >0 существует такой номер n₀ € N, зависящий от έ, что при всех n>=n ₀ выполняется неравенство:

|z_n-c|< έ.

Опр3. Круг на комплексной плоскости z, с центром в точке с и радиусом έ, называется έ-окресностю точки с, и обозначается U_έ(c).

U_έ(c)↔{z €С| |z-c |<έ}.

С геометрической точки зрения Опред2 можно интерпретировать следующим образом: если число с является приделом последовательности комплексных чисел, то для любой έ-окресности точки с, существует такой номер n ₀€ N, начиная с которого все члены последовательности {z_n} попадут в έ-последовательность точки с.

Опр4.Если {z_n} имеет конечный придел, то она называется сходящейся, в противном случае{z_n} называется расходящейся, и её приделом является бесконечно удалённая точка z=∞.

Теорема 16.1 (Критерий сходимости).

Для того, что бы последовательность комплексных чисел была сходящейся, необходимо, чтобы отюельно сходилась последовательность {a_n} и {b_n}.

(lim z_n =lim (a_n + b_ni)=c= a_c b_ci↔ lim a_n = a_c∩ lim b_n=b_c).

^{n->∞ n->∞ n->∞ n->∞}

Сформулированная теорема позволяет распостранить теорию приделов последовательностей действительных чисел, на последовательность комплексных чисел.

16.2Арифметические свойства приделов комплексных чисел.

Пусть {z_n} и {z’_n} – сходящиеся комплексные числа

1. lim z_n (k₁z₁± k₂z₂)= k₁ lim z_n± k₂lim z₂ , где (k_1,k₂ --const)

^{n->∞ n->∞ n->∞}

2.lim (z₁ z₂ )= lim z₁ * lim z₂

^{n->∞ n->∞ n->∞}

3. lim z₁/z₂ = lim z₁ / lim z₂

^{n->∞ n->∞ n->∞}

Пример: Найти придел последовательности комплексных чисел:

z_n =1/3ⁿ+I (2n+5)/(6n+1)

a_n=1/3ⁿ ; b_n=(2n+5)/(6n+1)

lim a_n= lim 1/3ⁿ=0;

^{n->∞ n->∞}

lim b_n= lim(2n+5)/(6n+1)= 1/3

^{n->∞ n->∞}

Ответ: lim z_n=0+1/3i=1/3i

16.3 Функция комплексного переменного: определение, непрерывность.

Пусть x и y – некоторые действительные переменные, тогда выражение z=x+iy называется комплексной переменной.

Обозначим Д_z – множыство всех значений, которая может принимать комплексная переменная z.

Оперед5. Если каждому значению z€Д_z по определённому правилу или закону f ставится в соответствие w=f(z) € С, то говорят, что на множестве Д_z задана однозначная функция комплексного переменного w=f(z). если каждому z соответствует несколько функций w=f(z) – она называется многозначная функция комплексного переменного.

Опред 6. Множество Д_z называется областю определения (существования) ФКП w=f(z), а множесво Д_w – всех значений которые принимает f(z), на множестве Д_z, называется областю значений существования функции w=f(z).

Всякую ФКП можно записать w=f(z)=f(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y), где U=U(x,y) – называется действительной частью ФКП, а V – мнимой частю.

U(x,y)=Rew

V(x,y)=Imw

Вывод: задание ФКП как однозначной так и многозначной, равносильно заданию двух действительных функций U и V, двух действительных переменных.

Пример:

Найти Rew, Imw функции w=z²

w=z²=(x+iy) ²= x²+2ixy+i²y²= x²+2ixy-y²= x²-y²+2ixy

Rew= x²-y²

Imw=2xy

Опр.7 Функция w=f(z), для любого z€Д_z, называется непрерывной в точке z=z₀, если придел функции в этой точке равен значению функции в этой точке. Функция называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в каждой точке этой области.