15.2 Геометрическое представление к/ч.
b
M(a,b)
|z|=ρ
a
|z|=√a2 +b2 a=ρcosφ
b=ρsinφ
φ=argz= argz +2Пk, k€z
Тригонометрическая форма к/ч: z= ρ(cosφ+isinφ)=|z|(cos(argz)+isin(argz))
Формула Эйлера: eiφ =cosφ+isinφ
z= ρeiφ= |z|eiargz
Arg
z=
arctg b/a ,
a>0
П + arctg b/a, a<0, b>0
П + arctg b/a, a<0, b<0
П/2 , a=0, b>0
-П/2, a=0, b<0
п
ример:
z=-1+√3i
Rez =-1
I
mz=√3
|z|=ρ=√(-1)2 + (√3)2 = √4 =2;
arg z= П+ arctg (√3/-1)=П-arctg√3 = П – П/3= 2П/3;
z= 2(cos 2П/3 +isin 2П/3);
z= 2e i2П/3
|z|=2 √3
-1
15.3 Операция над к/ч.
1) Сложение и вычитание:
z1=a1+ib1
=> z1±z2 => (a1±a2)+ i(bi±b2)
z2=a2+ib2
пример:
z1=-1+5i => z1+z2 = (-1+4)+ i(5-8)=3-3i
z2=4-8i z1-z2 = (-1-4)+ i(5+8)= -5+13i
Тригонометрическая форма:
z1=ρ1(cosφ1+isinφ1)
=>z1±z2=(ρ1cos φ1± ρ2cosφ2)+ i (ρ1sinφ1± ρ2sinφ2)
z2=ρ2(cosφ2+isinφ2)
пример:
z1=e2i => z1=cos2 + isin2
z2=3e-i z2=3cos1-isin1
2) Умножение и деление
z1=a1+b1i
=> z1*z2 =(a1+ibi)(a2+ib2)=a1a2+ibia2+ib2a1+i2b1b2= (a1*a2-b1*b2)+i(a2b1+a1b2)
z2=a2+b2i
z=z1*z2 Rez=a1a2-b1b2
Imz=a2b1+a1b2
Тригонометрическая форма:
z1=ρ1(cosφ1+isinφ1)
z2=ρ2(cosφ2+isinφ2)
Rez1=ρ1cosφ1 Imz1=ρ1sinφ1
Rez2=ρ2cosφ2 Imz2=ρ2sinφ2
z=z1*z2
Rez= ρ1cosφ1* ρ2cosφ2 - ρ1sinφ1* ρ2sinφ2= ρ1ρ2(cosφ1cosφ2 - sinφ1sinφ2)= ρ1ρ2 cos(φ1φ2)
Imz= ρ2cosφ2* ρ1sinφ1 + ρ1cosφ1* ρ2sinφ2= ρ1ρ2(cosφ2sinφ1 + cosφ1sinφ2)= ρ1ρ2 sin(φ1φ2)
Итак, z1z2= ρ1ρ2 (cos(φ1φ2)+ isin(φ1φ2))
Возведение к/ч в степень:
zn=(a+ib)n
z= ρ(cosφ+isinφ) => z2=z*z = ρ2(cos2φ+isin2φ)
z3=z2*z = ρ3(cos3φ+isin3φ)
zn=ρn(cosnφ+isinnφ)- формула Муавра
z=ρeiφ => zn= ρneinφ
Извлечение корня n-ой степени из к/ч
z= ρ(cosφ+isinφ)
n√z =w, z=wn
w=r(cost+isint), r,t-?
ρ(cosφ+isinφ)= rn(cos nt+isin nt)
ρ
=rn
r=n√ρ
φ+2Пk=nt t=φ=2Пk/n , k=0,1,….,n-1
n√z = n√ρ (cos 2Пk/n + isin 2Пk/n )
Деление к/ч
Опр.6
Частным двух к/ч z1
и z2
называется к/ч z
, вычисляемое по формуле: z=a+bi
=
На практике деление двух к/ч осуществляют след образом:
z = z1/z2 = ρ1(cosφ1+isinφ1)/ ρ2(cosφ2+isinφ2)= ρ1 /ρ2 (cos(φ1-φ2)+ isin(φ1-φ2))
Деление к/ч в показательной форме:
15.4 Понятие расширенной комплексной z-пл.
При выполнение деления чисел z1 и z2 предполагалось что z2≠0, т.к в противном случае если z2=0, то деление невозможно.
Для устранения этого договоримся что на множестве к/ч, частное 1/0 существует и представляет собой число, которое обозначают символом «∞».
Опр 7.Число z=∞ равное 1/0 называется несобственным (бесконечным к/ч). Множество к/ч С дополненное числом z =∞ называется расширенным множеством к/ч.
Комплексное пл. z , дополненная точкой z=∞ называется расширенной комплексной плоскостью. А сама т. z=∞ называется ее бесконечно удаленной точкой. Для числа z=∞ не сущ. понятия действительной и мнимой части, а также аргумента. Модуль этого числа |z|=±∞.
Л.16 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Функция комплексного переменного (ФКП) и её приделы.