2.В соленоидальном поле поток вектора поля через замкнутую поверхность s равен 0

Доказательство этого свойства основывается на формуле Остроградского-Гаусса, которую мы запишем в векторной форме

У нас

3.В соленоидальном поле поток вектора поля через поперечное сечение векторной трубки есть величина постоянная и которая называется интенсивностью векторной трубки.

14.4 Потенциальное (безвихревое) вп и его свойства

Опр 5.ВП называется потенциальным (безвихревым) если в каждой точке этого поля ротор поля равен 0.

Основные свойства потенциального поля:

1.потенциальное поле является полем grad некоторого СП u=u(x,y,z)

Докажем достаточность этого свойства:

Докажем необходимость :

2.циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в потенциальном поле равна 0:

Доказательство этого свойства следует из формулы Стокса, т.е.

3.в потенциальном поле линейный интеграл поля не зависит от формы пути интегрирования , а его значение определяется разностью значений потенциала поля в точке В и в точке А

где

Опр 6.Функция U называется скалярным потенциалом или потенциальной функцией поля .

Потенциал поля u=u(x,y,z) восстанавливается по ее полному дифференциалу по формуле:

14.5 Гармоническое поле

Опр7.ВП наз. гармоническим, если оно одновременно и соленоидальное и потенциальное .

Т.к. поле является потенциальным, то его можно записать в виде а так как оно и соленоидально, то

Тогда

В развернутом виде:

где u - потенциал поля.

Следовательно, потенциал поля u, если это поле гармоническое является решением дифференциального уравнения в частных производных, которые называются дифференциальным уравнением Лапласа.

Всякое решение уравнения Лапласа называется гармонической функцией.

Л.15 элементы функции комплексного переменного. Комплексные числа(к/ч).

15.1. К/ч определение, геометрическое изображение.

Опр.1. Результат извлечения корня квадратного из отрицательного числа назыв. мнимым числом.

Если d>0, то √-d = √d * (-1) = ±√d * √-1 (1)

Опр.2. Мнимое число √-1 назыв. мнимой единицей и обозначается i, т.е. i=√-1.

Отсюда следует, что i² = -1; i³ =i² * i = -1√-1=-1i; i⁴ = i² * i² = -1* (-1)=1;

(i⁴ⁿ)=(i⁴)ⁿ = 1

Например i²³ = (i⁴)⁵ * i³ = i³ = -i.

Вывод: на основание выше написанной формулы любое мнимое число можна представить в виде произведения действительного числа на мнимую единицу.

Опр.3. Комплексным числом z называется соединение действительного числа a с мнимым числом bi (a,b€R ) с помощью знака “+”. Иными словами комплексным числом z называется выражение вида z= a + bi. При этом a – действительная часть комплексного числа z(a=R€z), а число b – мнимая часть к/ч и обознач. b = I_mz.

Если b=0, то z=a – действительное число.

Если a=0, то z=bi – мнимое число.

Если a=0 и b=0, то z= 0+0*i=0

Из этого следует, что действительные числа и мнимые являются частными случаями множества к/ч.

Опр.4. Число z=a-bi называется сопряженным к/ч z=a+bi и наоборот, два комп. числа z и z являются (взаимно) сопряженными тогда и только тогда когда они отличаются знаком мнимой части равны:

z₁=a₁+b₁i <=> a₁=a₂

z₂=a₂+b₂i <=> b₁=b₂