Лк 13. Векторное поле (вп) и его характеристики.

13.1 Векторные линии и векторные поверхности.

ОПР1.Векторные линии являются геометрическими характеристиками ВП. Векторной линией поля наз. линия, касательная к которой в каждой её точке М направлена также как вектор соответствующий этой точке поля.

(м)

Опр 2. Совокупность всех векторных линий проходящих через некоторую линию (направляющую), наз. векторной поверхностью. Если направляющая замкнутая линия, то соответственно векторная поверхность называется векторной трубкой.

направляющая

векторные линии

13.2 Поток вектора

Пусть ВП определяется вектором (векторной функцией) =(М)=P(x,y,z)+Q(x,y,z)+R(x,y,z)

Опр 3.Потоком вектора через поверхность s в заданном направлении наз. Пви от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности s и обозначается п.

. (1)

По опр скалярного произведения векторов можно записать

Исходя из этого записываем:

П=

Т. к. =(P,Q,R), где P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)- проекции на координатные оси; и =(cos , cos , cos)-единичный вектор нормали, то П=d можно представить в виде: П=-выражение потока вектора через ПВИ-1. Можно показать, что , ; , тогда запишем выражение потока вектора через ПВИ-1 в виде: П=-выражение потока вектора через ПВИ-2. Дадим гидромеханическое толкование термина "поток". Пусть (М)-вектор скорости движения жидкости протекающей через поверхность S. П=. Каждое слагаемое этой интегрируемой суммы представляет собой объем цилиндра с площадью основания (M_i).

M_i

M_i

S

Вывод: (физ. смысл потока вектора): поток вектора через поверхность S есть число, которое выражает общее количество (объем) жидкости протекающей через поверхность S за 1-цу времени. Если поверхность S замкнутая и ограничивает некоторое пространственное тело V, а ПВИ берется по внешней стороне поверхности S, то величина потока П наз. потоком вектора изнутри поверхности S и дает разность между количеством жидкости вытекающей из обл V и втекающей в нее за единицу времени.

Если П>0, то из обл V вытекает больше жидкости, чем втекает, т.е. внутри обл V имеются дополнительные источники питающие поток жидкости.

Если П<0, то из области V вытекает жидкости меньше, чем втекает, т.е. внутри V имеются стоки поглощающие жидкость.

Если П=0, то из V вытекает жидкости столько же, сколько и втекает.

13.3 Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса.

Опр4. Дивергенцией(расходимостью) ВП определенную вектором =(М)=P(x,y,z)+Q(x,y,z)+R(x,y,z)

наз. число которое обозначается и вычисляется по формуле (4)

Замечание т.к. дивергенция есть число, то говорят, что ВП порождает скалярное поле дивергенции.

Основные свойства дивергенции:

1. Если постоянный вектор, то дивергенция =0

2. 

3. 

Используя понятие потока вектора и дивергенции можно дать другую векторную форму записи формулы О-Г.

Таким образом: (5)

Поток вектора поля по замкнутой поверхности S в направлении внешней нормали=ТРИ от дивергенции этого поля по пространственной области V ограниченной этой поверхностью S, следовательно, формула О-Г устанавливает связь между дивергенцией и потом векторного поля. Дадим гидромеханическое толкование дивергенции. Пусть вектор скорости потока жидкости, тогда если

, то т.М₀ –источник жидкости. Если , то т.М₀ представляет собой сток, поглощающий жидкость, если , то в обл V ограничивающей поверхность S нет ни источников ни стоков.

Вывод (физ. смысл дивергенции)

величина div характеризует мощность (интенсивность)источника или стока ВП.