21. Перпендикуляр і похила

Нехай BA — перпендикуляр, опущений із точки B на пряму a, а С — будь-яка точка прямої a, відмінна від A (див. рисунок). Відрізок BC називається похилою, проведеною з точки B до прямої a. Точка С називається основою похилої. Відрізок AС називається проекцією похилої.

Властивості похилих

Теорема. Коли з даної точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції, а з двох похилих більша та, в якої проекція більша. На рисунку BD, BC, BP — похилі, AB — перпендикуляр, ; ;.  

Перпендикуляр і похила

Перпендикуляром, опущеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини й лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра. Від­станню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного із цієї точки на площину. На рисунку AB — перпендикуляр; AC — похила; BC — проекція. Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини. Відстанню між паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до пло­щини. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої. Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра й похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією по­хилої.

Теорема про триперпендикуляри

Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див. рисунок). І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

22.

23. Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, в основі якої лежить паралелограм. Усі грані паралелепіпеда — паралело­грами. Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними. Теорема 1. Протилежні грані паралелепіпеда є паралельними й рівними. Паралелепіпед залишається паралелепіпедом у всіх випадках, коли за його основу вважаємо довільну його грань (див. рисунок). Теорема 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл. Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром си­метрії. Зверніть увагу: у прямого паралелепіпеда є чотири діагоналі, які попарно дорівнюють одна одній. На рисунку ; . Це випливає з властивостей похилих, оскільки — рівні перпендикуляри до площини основи ABCD. Якщо дві діагоналі прямого паралелепіпеда виходять із сусідніх вершин, то більша з них та, яка проектується у більшу діагональ основи, тобто таку діагональ паралелограма, яка лежить проти тупого кута. Отже, якщо на наведеному вище рисунку вважати кут ABC тупим, отримаємо , . Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом (див. рисунок). Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники, які можна розбити на три пари рівних між собою. Довільну грань прямокутного паралелепіпеда можна вважати його основою. Враховуючи, що при паралельному проектуванні довільний паралелограм може зображуватися довільним паралелограмом, зо­браження прямокутного паралелепіпеда ніяк не відрізняється від зображеня будь-якого прямого паралелепіпеда. Довжини непаралельних ребер називаються лінійними розмірами (вимірами) прямокутного паралелепіпеда. Теорема 3. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими. Прямокутний паралелепіпед має три пари рівних між собою діагональних перерізів. Кожний із цих перерізів є прямокутником (див. ри­сунки). Кожна пара перерізів перетинається по прямій, яка проходить через точки перетину діагоналей протилежних граней. Відрізки між цими точками є паралельними й дорівнюють одному з ребер прямокутного паралелепіпеда. Прямокутним є трикутник, який утворюється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, діагоналлю бічної грані й стороною основи (див. рисунок). Наприклад, . Прямокутний паралелепіпед має центр симетрії — це точка перетину його діагоналей. Він також має три площини симетрії, які проходять через центр симетрії паралельно граням. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом. Площина будь-якого діагонального перерізу куба є його площиною симетрії. Таким чином, куб має дев’ять площин симетрії. На рисунку розглянемо взаємне розміщення деяких елементів прямого паралелепіпеда:  — кут між діагоналлю бічної грані й площиною основи ( — перпендикуляр,  — похила, СD — проекція).  — кут між діагоналлю прямого паралелепіпеда й площиною основи ( — перпендикуляр,  — похила, АС — проекція).  — кут нахилу діагоналі  до бічної грані  (AD — перпендикуляр,  — похила,  — проекція). Нехай  — прямий паралелепіпед (див. рисунок), де ABCD — ромб. Проведемо його переріз площиною, що проходить через діагональ основи BD і вершину . У перерізі отримаємо рівнобедрений трикутник .  — лінійний кут двогранного кута між площинами основи й перерізу. за властивістю діагоналей ромба,  — перпендикуляр,  — похила, СО — проекція. За теоремою про три перпендикуляри: .

24. Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника — основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи — вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Висота піраміди — перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи. Піраміда називаєтьсяn-кутною, якщо її основою є n-кутник. Трикутна піраміда називається такожтетраедром. Бічна грань піраміди — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди. На рисунку SO — висота піраміди. Тоді — кут між бічним ребром і площиною основи (SO — перпендикуляр, SА — похила, OА — проекція). З основи висоти піраміди (точки О) проведемо перпендикуляр на сторону основи (наприклад, АЕ). Основу цього перпендикуляра (точку F) з’єднаємо з вершиною піраміди (точкою S). За теоремою про три перпендикуляри: . (SO — перпендикуляр, SP — похила, OF — проекція, за побудовою.) Отже, — лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані ASEі площиною ­основи. Для розв’язування задач про піраміду дуже важливо з’ясовувати, де розміщена основа її висоти. 1. Якщо виконується хоча б одна з таких умов: • усі бічні ребра піраміди рівні; • усі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом; • усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди; • усі бічні ребра рівновіддалені від основи висоти, — то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди. Бічне ребро l, висота H і радіус R описаного навколо основи кола утворюють прямокутний трикутник: У цьому випадку бічну поверхню можна знайти за формулою , де l — довжина бічного ребра, , ...  — плоскі кути при вершині. 2. Якщо виконується хоча б одна з таких умов: • всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом; • усі бічні грані мають однакові висоти; • висоти бічних граней утворюють однакові кути з висотою піраміди; • бічні грані рівновіддалені від основи ви­соти, — то основа висоти лежить у центрі кола, вписаного в основу піраміди. На рисунку — прямокутний ,  — радіус вписаного кола в ABCDEF;  — висота піраміди, SP — висота бічної грані;  — ліній­ний кут двогранного кута між бічною гранню й площиною основи; О — центр вписаного в основу кола, тобто точка перетину бісектрис ABCDEF. У цьому випадку . 3. Якщо бічне ребро перпендикулярне до площини основи, то це ребро є висотою піраміди (див. рисунки). У цьому випадку і — кути нахилу бічних ребер SВ і SС відповідно до площини основи.  є лі­нійним кутом двогранного кута між бічними гранями SAC і SBA. 4. Якщо бічна грань перпендикулярна до площини основи (див. рисунок), то ви­сотою піраміди буде висота цієї грані (за теоремою «Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до прямої їх перетину, то вона пер­пендикулярна до другої пло­щини»). 5. Якщо дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди є їх загальне бічне ребро.

25. Круговим циліндром називається тіло, яке складається з двох кругів, що не лежать в одній площині й суміщаються паралельними перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів (див. рисунок). Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, — твірними циліндра. Основи циліндра рівні й лежать у па­ралельних площинах. Твірні циліндра паралельні й рівні. Бічна поверхня циліндра складається з його твірних. Поверхня — з основі бічної поверхні. Радіус циліндра — це радіус його основи. Висота циліндра — відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вісь циліндра паралельна твірним. Циліндр називається прямим, якщо ­його твірні перпендикулярні до площин основ. Прямий циліндр (далі просто «циліндр») можна дістати в результаті обертання прямокутника навколо сторони як осі. У прямому циліндрі висота дорівнює твірній. Перерізом циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник. Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — рівні й паралельні хорди основ.Осьовий переріз — переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь. Площина, паралельна осі циліндра, перпендикулярна до площин його основ

Об’єм циліндра  дорівнює добутку площі його основи та висоти. ; .